на определено място в спектъра на спиртен пламък, съдържащ натрий. Интересува ни дали между жълтата ивица в спектъра и наличието на натрий има причинна връзка. Отстраняваме натрия от пламъка, като запазваме всички други обстоятелства. Установяваме, че жълтата ивица изчезва. Правим заключение, че натрият е причината за съответното спектрално явление. Тук явно са съпоставени две инстанции - позитивна и негативна, които се различават по това, че в първата А е налице, а във втората липсва. В комплекса на явленията, които придружават или следват във времето, предшестващите обстоятелства по съвсем същия начин се различават единствено по отсъствие на "а" (жълтата ивица в спектъра) във втория, отговарящ на отсъствието на Л. От съпоставянето на две инстанции е отпаднала необходимостта от търсене на множество случаи, както е при метода на сходството. В това Мил с основание вижда едно от преимуществата на метода на разликата.
Умозаключителни възможности на разсъждения по метода на разликата естествено зависят от това дали единствената разлика между двата случая наистина има това качество. Търсенето на единствена разлика е не по-малко трудно от търсенето на единствено сходство. Може да се питаме дали само натрият или той плюс някакво друго вещество образуват някаква комплексна причина. Отговорът трябва да бъде предоставен на химиците, които знаят що е чист натрий. Освен това, ако веществата са две, то с отстраняването им възникват две разлики и в такъв случай нямаме право да говорим за единствена разлика. Можем освен това да се интересуваме дали експериментът е точен, дали експериментаторът не е пропуснал да отчете действието на някакъв фактор, който се е промъкнал в експерименталната обстановка, но поради невнимание е останал незабелязан. Това пък засяга качеството на експерименталната дейност. Сигурно има основание твърдението, че за тъпия експериментатор опитът се превръща в празно губене на време. Решителните преимущества на метода на разликата пред метода на сходството произтичат преди всичко от неговата експериментална природа. Понякога го наричат експериментален метод par exellence. Експериментът намира в метода своя логически израз; методът намира в експеримента практическата си реализация. Ако при наблюдението, към което преимуществено прибягва методът на сходството, разчитаме на това, което ни предостави природата, без каквато и да е човешка намеса, в експеримента поставяме природните неща в своя власт и се разпореждаме с тях като създаваме изкуствена среда, включваме или изключваме обстоятелства и отчитаме настъпили разлики. В естествознанието са познати строги експерименти, които плътно ни приближават до установяване на
I
търсената единствена разлика. Във физиката например Нютон е доказал, че за земното притегляне единствено важи масата на телата, а не конкретното им вещество. Той експериментирал с две махала с еднаква дължина, завършващи с еднакви съдове, в които са поставени вещества и накрая еднаква е и първоначалната амплитуда на люлеене. Единствено различно е веществото в съдовете - например живак и вода. Махалата затихват съвсем едновременно. Изводът, който прави великият физик, представлява справедливо обобщение, свидетелствуващо за това, че човек не трябва да бъде пленник на бедното правило на емпиризма, че може да излезе толкова вън от опита си, колкото и от собствената си кожа.
Трябва да имаме предвид, че отдалечаването от света на механиката и физиката изобщо и навлизането в областта на живото е свързано с намаляване възможността за извършване на точни експерименти. Биологическият свят е много по-сложен и поради това експериментирането с биологически обекти е по-трудно. Неизбежно огрубяване представлява опитът за свеждане на живия обект до формулата Л, В, С, та дори и да е с многоточие. Дори ако по този начин се приближим до характеристика, която изглежда единствено обща, не трябва да се забравя, че това е привидност. Природата е вложила още едно различие - наследствеността, от което не можем да се абстарахираме и да го обявим за безразлично. В такъв случай експериментите по метода на разликата обикновено се извършват чрез съпоставяне на експериментална и контролна група, отговаряща на позитивната и негативната инстанции. Тяхната мно-жественост е предназначена донякъде да изравни онова, което по природа е неравно. За обработка на получените данни се привлича статистиката с нейните математически методи.
Но онова, което природата е отнела, може понякога да го върне. Научно доказан факт е, че едноличните близнаци притежават еднаква наследственост. В тях природата е изтрила онова различие, което не може да бъде преодоляно от експериментатора. Такива случаи Бейкън е наричал "прерогативни инстанции", които са дар на природата, тъй като в тях изследваното се среща в много по-чист вид и без природната му преплетеност с други, затъмняващи обстоятелства. Такива случаи катализират процеса на изключването, тъй като "малко от тях могат да служат за пример на много".1 Оттук и големият научен интерес към еднояйчните близнаци. Експериментирането с тях не само спестява усилията от съпоставяне на големи съвкупности, но ни приближава към точния физически експеримент.
Бейкън, фр,. Цит. съч, с 203.
90
91
Едно видоизменение на метода на разликата представлява МЕТОДЪТ НА ОСТАТЪЦИТЕ. Той не се отнася към основните индуктивни методи. Общата му схема съвпада напълно с тази на метода на разликата, но особеното е в това, че позитивната и негативната инстанции не са разграничени в пространството и времето, а представляват съпоставка на позната с все още непозната част на едно и също явление. Чрез прилагането му е била установена например ролята на далака като кръвно депо в животинския организъм: констатирано е било увеличение на количеството кръв при повишаване на температурата. При търсене причините на явлението учените са изключили онова, което въз основа на предварително знание не може да е причина - костен мозък, артерии, вени... След изключването им са стигнали до извода, че само далакът е причинно свързан с наблюдаваното явление. Но този извод е бил проверен след това чрез метода на разликата. Експериментът е бил извършен с две котки, на едната от които далакът е бил отстранен много преди това. В случая са налице пространствено разграничени позитивна (котка с далак) и негативна (котка без далак) инстанции. Установено е било,'че при еднакво силен кръвоизлив, котката без далак умира по-бързо.
§ 5. Индуктивният метод на придружаващите промени.
В света съществуват тясно свързани едно с друго явления, които не могат да се отделят. От физиката знаем, че не можем да се освободим напълно от влиянието на магнитното поле например на планина, в недрата на която има желязо. То влияе върху опитите с махало в близост до него. Отдалечаването от планината води до отслабване на влиянието му, но не и до пълното му отстраняване. Тогава остава да бъдат изследвани придружаващите промени между реално неотделимите явления, физиците са установили, че влиянието намалява с квадрата на разстоянието. Като средство за изучаване на подобни зависимости се използва МЕТОДЪТ НА ПРИДРУЖАВАЩИТЕ ПРОМЕНИ.
От училищния курс по физика е известна зависимостта между разпространение на звукови вълни и въздушна среда. Но до нея се достига чрез експериментиране с електрически звънец, поставен в стъкленица, от която се изпомпва въздухът. Строга негативна инстанция не може да бъде постигната, тъй като това значи да стигнем до вакуум, но последователното изпомпване се съпровожда с такова разреждане на молекулите, че звук не се чува, макар да виждаме ударите на чукчето по камбанката на звънеца.
По подобен път са установени и основните закони на газовете. Техните основни характеристики - температура, обем и налягане,
не могат да бъдат разделени, но чрез поддържане в константен вид на някоя от тях се изучават взаимните изменения на останалите. Така се стига до известните закони на Бойл-Мариот, на Шарл, на Гей Люсак, обобщението им в закона на Клапейрон... Само тези примери са достатъчни да покажат значимостта на метода на придружаващите промени за разкриване на важни зависимости в природата.
Мил не само е развил теорията на основните индуктивни методи, но се е опитал да изгради системата им, като е посочил някои техни съществени взаимовръзки. Към тях се отнася съединеният метод, който обединява възможностите на методите на разликата и сходството. Той е успял да се приближи към разкриване логическата природа на мисловния експеримент, чрез който Галилей достигна до основополагащия за физиката принцип на инерцията. Общото за всички тях е движението на мисълта от частното към общото.
92
93
ВЪПРОСИ КЪМ ТЕМАТА
ГЛАВА ШЕСТА
/ Логическите трактати на Аристотел са обединени в Органон (= инструмент, оръдие на мисленето) Фр. Бейкън пише "Нов Органон". Какво според вас иска да каже с това?
2. Какво представлява пълната индукция. Защо не я считаме за истинско умозаключение?
3 Защо за Бейкън популярната индукция е нещо детинско?
4 Какво според вас представлява противоречивият случай и в какво е неговата роля?
5 Искат да ви внушат, че всички постъпки на ваш познат са били безкористни. Вие не сте съгласни с това. Как ще го опровергаете?
6 По какво Бейкъновата истинска индукция се различава от популярната индукция?
7 Помислете Върху примери на физически експерименти, които сте наблюдавали. Имат ли изводите от тях по-общ характер или важат само за наблюдавания експеримент?
8 Каква е разликата между наблюдение и експеримент? В какво виждате преимуществата на експеримента?
9 Прилагането на индуктивните методи предполага използване на предишно общо знание за причинността. Не поставя ли това под съмнение тяхната индуктивна същност?
(Отговор на въпрос 9): Такова съмнение може да възникне. Но трябва да отчетем, че независимо от предишното знание, което използваме, Все пак мисълта ни се движи от фактите към обобщения, които ги надхвърлят.
ТРАДУКТИВНИ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
§ 1. Същност на традукцията и отликата й от другите умозаключителни форми.
Разликата между дедуктивните и индуктивните умозаключения произтича от разликата в степента на общност на знанието, от което мисълта тръгва и знанието, до което тя достига. Това от което тръгваме, са предпоставките. Това, до което достигаме, са изводите от тях. Когато предпоставките са по-общи от изводите, движението на мисълта е дедуктивно. Когато изводите са по-общи от предпоставките, имаме индуктивно движение на мисълта.
Съществува още една възможност за съпоставяне по степен на общност на предпоставки и изводи. Тя се представя от умозаключения, в които няма разлика по степен на общност между тях. Тези умозаключения се наричат традуктивни.
Когато например от предпоставките:
"Петьр е висок колкото Иван и Иван е висок колкото Стефан",
направим извода: "Следователно, Петър е висок колкото Стефан", ние не сме променили степента на общност на знанието в предпоставките и знанието в извода. Тук става дума за отношение между Петър, Иван и Стефан, които все са единични явления. Ние съдим за неща, които са на еднаква плоскост по своята общност. Същото е, когато в геометрията разсъждаваме върху подобие на триъгълници:
АВС е подобен на DEF DEF е подобен на KLM
Следователно, АВС е подобен на KLM
Разликата от предишния случай е в това, че сега разсъждаваме върху нещо общо. Триъгълникът, дори начертан на черната дъска,
94
95
е представител на цял клас триъгълници. Но общото и в двата случая е в свързването на първото и последното без никакъв непосредствен опит. Ние не прибягваме към конкретно измерване височините на Петър и Стефан, за да установим равенството на височините им. Нито пък измерваме страните или ъглите на ABC и KLM, за да установим подобието им. Равенството в първия случай и подобието във втория се установява чрез еднаквото им отношение към нещо трето. Следователно, в тези случаи се умозаключава и движението на мисълта става в рамките на еднаква степен на общност.
В традуктивните умозаключения няма разлика по степен на общност между знанието в предпоставките и знанието в извода.
§ 2. Отношенията и ролята им в традуктивните умозаключения.
Те са умозаключения за отношения и затова разглеждането на някои белези на отношенията е важно за изясняване основата на движението на мисълта, наречено традукция.
Първият им съществен белег, който може да бъде установен, е тяхното съществуване в света, независимо от това, дали ги знаем или не. Здравият разум подсказва, че отношенията са нещо реално и принадлежат на нещата в света. Най-съществените от тях се изучават от различните науки. Какво представляват законите на коя да е наука, ако не постоянни зависимости между характеристики на нещата: между обем и налягане на газовете, между брой на електрони в най-външната орбита на атома и валентност, между лице на триъгълник и неговата основа и височина? Където и да надзърнем, установяваме отношения, които са там, където са относимите неща, които те характеризират. Като погледнем по-отблизо, ще се запитаме: как те принадлежат на нещата? Нали същото казваме и за свойствата? "Вазов е поет" бе разгледано като съждение за свойство. Разгледали сме, анализирали сме Вазов и сме установили, че в многото свойства, които са му присъщи е и свойството поет. Какво е различното от това, което установихме в съждението "Вазов и Славейков са съвременници"? В този случай пак намираме нещо, което е присъщо на Вазов, но начинът, по който то му е присъщо е друг. Той има тази характеристика само спрямо нещо друго, което е различно от него. "Вазов е съвременник" е лишено от смисъл, ако не е посочено на кого е съвременник. Той няма тази характеристика, ако бъде разглеждан без връзка с други неща. И не просто други. Вазов няма характеристиката съвременник спрямо сегашните поети По същия начин никой не е сам по себе си "баща", "брат" или
"сестра". Нищо не е само по себе си "по-голямо" или "по-малко". Става дума за характеристики, които не принадлежат така, както например ни принадлежи цветът на очите, формата на лицето. Отношението е характеристика на нещата, когато те са заедно и само заедно. Те принадлежат на нещата и заедно с това винаги са насочени към другото, спрямо което имат тази характеристика.
При анализирането на съставките на простите мисли видяхме, че в логиката се държи сметка за невъзможността отношението да е признак на отделен обект. Затова символният израз на съждението за двучленно отношение е t (x, y) и той се отличава от f (x) като символен израз на съждения за свойство. Пак там бе посочено, че ревността е тричленно отношение и затова се записва като Г (х, у, г). Сега можем да прибавим, че играта на карти обикновено е четиричленно отношение, футболният мач е отношение с много повече членове. Минималният брои членове на отношението е две. В двучленното отношение
"х" е нещото, което се отнася, "у" е нещото, към което "х" се отнася, "f" е отношението, в което те са. Ако сменим местата на относимите, ще получим обратното отношение. Понякога то съвпада с първоначалното отношение, а понякога не съвпада с него.
Равенството (Л = В) се запазва, когато разменим местата на относимите. Отношенията, които притежават това свойство, се наричат обратими (симетрични) отношения. Такава е приликата. А прилича на В е необходимо свързано с В прилича на А. Същото е и с подобието, разликата.
В много случаи тази обратимост отсъства. Например А е по-голямо от В, а след размяна на местата на относимите, става - В е по-малко от А. В този случай обратното отношение не съвпада с първоначалното отношение. Те взаимно се предполагат, но са различни отношения. Същото е и с Л е баща на В. Обратното отношение не може да е същото. В такъв случай В е син или дъщеря на на Л. Такива отношения се наричат необратими (асиметрични).
Има отношения, при които обратното отношение понякога съвпада с първоначалното, а понякога не съвпада с него. Напримрер ако A обича B, не можем да определим дали В обича А или не го обича. Логиката тук е безсилна и от нейно гледище може само да се каже, че В обича Л или В не обича Л, а конкретният опит ще покаже на този, които се интересува, кой от членовете на дизюнкцията е верен.
Много важна роля за извеждане на мисли играе преносимостта
96
97
(транзитивността) на някои отношения. Това свойство притежават отношения, които ако ги има между A и B, а B е в същото отношение с С, то същото отношение се пренася между Л и С. В умозаключенията, които разглеждаме в началото, такива свойства имат "еднакъв" и "по-висок". Сега можем да прибавим и други: "равен на", "по-голям от" притежават това свойство. Ако А е равно на В, а В е равно на С, то отношението на равенството се пренася между А и С. Съвсем същото е и отношението "по-богат от". Ако А е по-богат от В, а В е по-богат от С, то без да сме броили парите на A и C, знаем, че A е по-богат от С. Такива свойства притежава логическото отношение имп-ликация. То е изразено в закона за нейната преносимост
(A -> B) . (B -> C) -> (A -> C)
, който познаваме.
Други отношения не могат да се пренасят така, както споменатите по-горе. Например ако A е баща на B, а B е баща на С, то А не може да е баща на С, а е дядо на С. "Дядо на" е отношение, което е различно от "баща на". В този случай няма пренасяне на същото отношение. Така е и при "по-възрастен с 5 години". Ако А е по-възрастен с 5 години от В, а В на свой ред е с 5 години по-възрастен от С, то А е вече с 10 години по-възрастен от С. Полученото отношение е друго, различно от отношението между А и В, което се повтаря между B и C. Такива отношения се наричат интранзитивни (непреносими).
Тъй като преносимостта на отношенията стои в основата на умозаключителните вериги от мисли, важно е във всеки конкретен случай да установим дали дадено отношение притежава споменатата характеристика. Има ли я например в отношението "непосредствен съсед на"? Трябва да внимаваме в преценката, в зависимост от смисъла, в който говорим за непосредствено съседство. Ако става дума за непосредствено допиране на дворовете им в една махала, това отношение е транзитивно:
В този случай А е непосредствен съсед на В, В е непосредствен съсед на С, А е непосредствен съсед на С. Отношението е транзитивно. Но ако се има предвид непосредствено съседство на една улица, отношението няма тази характеристика:
A
В
С
Сега вече положението е друго: А е непосредствен съсед на В, В е непосредствен съсед на С, но Л не е непосредствен съсед на С Отношението е интранзитивно.
По същия начин трябва да постъпим, когато разглеждаме отношението "съвременник на". Ако го разбираме в строгия му смисъл, който значи, че годините на раждане и годините на смъртта на А, В и С съвпадат, то е транзитивно:
В този смисъл на "съвременник" няма съмнение, че Л е съвременник на B, B е съвременник на C, а от тях следва, че А е съвременник на С. Отношението е транзитивно.
Но ако само отрязъци от време на жизнения им път съвпадат, то може да се окаже нетранзитивно.
Сега вече положението е различно в сравнение с предишния случай : А е съвременик на В в някакъв интервал от време, В е съвременник на С в друг интервал от време, но А и С нямат никакъв общ интервал от време. В този случай отношението е интранзитивно.
98
99
Свойствата обратимост (или необратимост), преносимост (или непреносимост) са най-общи свойства на отношенията. Затова се наричат формални свойства на отношенията. Те са независими свойства, но могат да се свързват помежду си като свойства на едно и също отношение. Например "баща на" е асиметрично и интранзитивно отношение. "Подобен на" пък е симетрично и транзитив-но отношение. В такива съчетания мислите за тях са предпоставки и изводи на различни традуктивни умозаключения. Нека сравним традуктивното умозаключенне:
(1) Ако A е по-голямо от B и В е по-голямо от С, то А е по-голямо от С,
с друго традуктивно умозаключение:
(2) Ако А е равно на В и В е равно на С, то А е равно на С.
В първото отношението "по-голямо от" е необратимо. Неговото обратно отношение е "по-малко от", което не съвпада с първото. Отношението във второто умозаключение е обратимо. "Равно на" има за обратно отношение пак "равно на". Но и двете са преносими (транзитивни). Благодарение на това тяхно общо свойство изводът следва от предпоставките и в двете умозаключения.
Сега да сравним тези умозаключения с разсъждението (3):
(3) Ако А дължи пари на В и В дължи пари на С, то А дължи пари на С
Отношението "дължи пари на" е също необратимо. Всеки знае, че едно е да си длъжник, съвсем друго е да си кредитор. Но това отношение не е преносимо. От това, че дължим пари някому, а този някой дължи пари на друг, не следва че дължим пари на този друг. Това, което сме записали като извод, не е действителен извод, тъй като не следва от предпоставките. Транзитивността на отношението отсъства в случая.
Присъствието на транзитивността като основа на умозаключения и на цели вериги, изградени от тях, може да доведе до прибързания извод, че тя е последната, най-дълбоката основа на умозаключенията За да видим, че това не е така, ще разгледаме умозак-
лючение, в което предпоставките не са транзитивни отношения:
(2) Ако A е два пъти по-голямо от B и B е два пъти по-малко от C, то A е равно на B.
Отношението "два пъти по-голямо" не е транзитивно. Ако нещо е два пъти по-голямо от друго, а то на свой ред е два пъти по-голямо от трето, то първото е не два, а четири пъти по-голямо от третото. Същото свойство има и отношението "два пъти по-малко от" във втората предпоставка. Но независимо от това, изводът следва от предпоставките и дори е транзитивно отношение. Как сме стигнали до него? Ако се замислим, сигурно ще се съгласим, че в случая разсъждението ни следва едно общо правило, което сме приложили, но не сме изразили:
Изобщо, ако една величина е два пъти по-голяма от друга, а тяе два пъти по-малка от трета, то първата величина е равна на третата.
В случая става дума (в този ред!)
за отношението на величините А, В и С
Следователно, величина А е равна на величина В
Но това всъщност значи, че сме се съобразили с нещо общо, което сме приложили в конкретния случай.
Законът за достатъчното основание - това, което важи изобщо, важи и в частните случаи - е най-дълбоката основа на умозаключенията. Преносимостта (транзитивността) на отношенията е негова проява.
§ 3. Аналогия.
Към традуктивните умозаключения се отнасят и случаите, когато от знания за сходството на два предмета по някои признаци съдим, че те са сходни по други признаци, които сме установили в първия предмет, но все още не сме установили във втория.
Например между нашата Земя и Слънцето има сходство по редица признаци: те са небесни тела на една планетарна система; движат се във Вселената; имат сходен химически състав, установен чрез спектрален анализ и т.н. Но спектралният анализ на слънчевите лъчи е показал, че на Слънцето има елемент, които не е бил
100
101
известен на Земята. Въз основа на сходството по други признаци е бил направен изводът, че вероятно го има и на Земята. Той дори е бил кръстен хелий, на името на Слънцето, преди по експериментален път да се установи, неговото присъствие на Земята. Това умозаключение се нарича АНАЛОГИЯ. Неговият общ вид е:
Предметът A има признаци а, b, b, d... Предметът B има признаци a, b, c
Следователно, предметът В (вероятно) има признака d
Аналогията е традуктивно умозаключение, в което въз основа на сходни признаци на сравнявани предмети се извършва пренасяне на знание за единия предмет към другия.
Пренасяното знание е за признак, т.е. е свойство или отношение. В зависимост от това, умозаключението бива аналогия въз основа на свойство или аналогия въз основа на отношение. Във физиката по аналогия със слънчевата система е създаден планетарният модел на атома. В химията по същия начин се е стигнало до структурните формули на химическите съединения, в които се възпроизвежда съотношението на атомите в молекулата. Аналогия въз основа на сходни симптоми на заболяване представляват много медицински диагнози. Степента на достоверност на пренасяното знание, което фигурира като извод На умозаключението по аналогия, зависи от много обстоятелства. Съществуват повърхностни, дори смешни аналогии, съществуват и сериозни аналогии. Между нашата планета и планетата Меркурий има редица сходни белези. Но едва ли е сериозно на тази основа да стигаме до извод за наличие на живот на тази планета. Експериментално установената висока температура на Меркурий изключва възможността за живот на нея. Тук трябва да прибавим: "във формата, в която го познаваме на нашата планета". При липса на признак, който противоречи на възможността за пренасяне на знание (както е с високата температура на Меркурий), по-големият брой на сходните признаци на сравняваните неща ще повиши степента на достоверност на направените изводи. Това ни напомня за индуктивния метод на сходството, при който достоверността на изводите също се подкрепя от по-големия брой на съвпадащите случаи. Но още по-важно е естеството на връзката между общите белези на двата предмета. Ако установим, че между признаците а, Ь, с от една страна и признака d, от друга, има необходима връзка, т.е.
(a . b . c) -> d,
тогава изводът, че признакът d е присъщ на В, ще следва по познатата ни схема на модус поненс:
(a . b . c -> d) . (a . b . c) -> d
В такъв случай имаме СТРОГА АНАЛОГИЯ, която всъщност е дедуктивно умозаключение.
Този вид аналогия е идеалът, към който учените се стремят. Но като всеки идеал, това е трудно осъществимо. Все пак приближаването към него става чрез изграждане на модели, които възпроизвеждат почти точно структурата или функциите на оригинала. В научното изследване те заместват оригинала и изучаването им дава възможност да се пренесат знания върху него, достоверността на които е равна на реалната степен на съответствие на оригинала и модела, който го възпроизвежда.
102
103
УПРАЖНЕНИЯ
ВЪПРОСИ
ОТГОВОРИ
1. Определихме традукцията като трета Възможност за отношение между предпоставки и изводи в зависимост от степента на общност на знанието, съдържащо се в това. Няма ли друга възможност?
1. Няма. Делението на умозаключенията на индуктивни, дедуктивни и традуктивни въз основа на степента на общност на знанието в предпоставките и изводите е изчерпателно.
2. По какво се отличава свойство от отношение, които Все са признаци на нещата?
2. Заб. Прочетете отново началото на урока.
3 По какво се отличава символният запис на съждения за свойства f(x) от съждения за отношения f(x, у); f(x, у, z)?
3. Първите се записват като функции на един аргумент, а вторите се записват като функции на два или повече аргумента.
4, Какво наричаме обратно отношение?
4. Така наричаме отношението, което получаваме, когато разменим местата на относимите. Например а > В има за обратно отношение В < а; а = В има за обратно отношение В = а.
5. Кога обратното отношение съвпада с първоначалното и кога не съвпада с него?
5. Съвпада при обратимите (симетричните) отношения и не съвпада при необратимите (несиметричните) отношения.
6. Кога казваме, че едно отношение е преносимо (транзитивно)?
6. Заб. Вижте примерите в текста.
7. Кой е законът за преносимост на импликацията?
7. (А -> В) . (В -> С) -> (А -> С)
8. Определете общите (формалните) свойства на отношението "баща на".
8, То е необратимо (асиметрично) и непреносимо (интранзивно).
9, Като имате предвид, че за еквивалентността е в сила Взаимна импликация на страните й, то каква формална характеристика притежава тя?
9. За еквивалентността А <-> В знаем от един от законите за разлагането й, че е в сила: (А -> В) и (В -> С). Следователно тя е обратимо (симетрично) отношение.
10. Защо считаме закона за достатъчното основание за най-дълбоката основа на умозаключенията?
10. Заб. Прочетете отново края на урока.
11. По кои свойства се отличават отношенията а > В и а = в и по кои си приличат?
11. Отличават се по това, че а > в е асиметрично, а а = в е симетрично. Приличат си по това, че и двете са транзитивни.
12. Какво мислите за общите свойства на отношението А е влюбен В В?
12. Заб. Разчита се на собствения опит на всеки В тази област (въз основа на това отговорите могат да бъдат най-различни).
104
105
РАЗДЕЛ ТРЕТИ
ОСНОВНИ ПОЛОЖЕНИЯ НА СИМВОЛНАТА ЛОГИКА
ГЛАВА ПЪРВА
ПРОПОЗИЦИОНАЛНАТА ЛОГИКА - ЛОГИКА НА СЛОЖНИТЕ СЪЖДЕНИЯ
§ 1. Мисловни атоми и мисловни молекули, изградени от тях.
Извеждането на нови мисли от предишни, стари мисли, е толкова съществено за логиката, че може да бъде определено като нейна сърцевина. Разкриването на начините, по които става това извеждане, е главната й задача. Но за да се приближим към решението й, трябва преди това да видим какъв логически вид имат старите мисли, от които следват новите.
Старите мисли са прости мисли или техни съчетания, т.е. сложни мисли. Изречението
"Вазов е поет"
е езиков израз на проста мисъл. Разглеждали сме, анализирали сме Вазов и сме установили едно негово свойство. Пред нас е един "атом на мисълта", най-малката единица мисъл, която езиково е изразена в просто изречение, което е "най-малката единица слово".1 Най-малките единици мисъл в логиката се наричат атомарни мисли или положения. Знаем, че атомът също е сложно нещо, съставено от по-прости от него неща, но сега няма да се интересуваме от съставките на простите мисли, а как от тях, без да бъдат разчленявани, се изграждат сложните мисли, "молекулите" на мисълта. Ще ги наричаме още молекулярни положения.
Вазов е не само поет, но притежава и други свойства. Той е бил хъш във Влашко, съдия в Берковица, написал е "Под игото" и т,н. Друго знание за него ще имаме, ако отчетем някое от тези други свойства Например:
"Вазов е писател" е друга проста мисъл за същия обект, изразена в друго изречение.
Платон, Диалози. т. IV, Софистът, С ,1990, с 286
109
По-пълно знание за него ще представлява съчетаването на двете прости мисли във
"Вазов е поет и писател"
което вече е сложна мисъл, тъй като е обединение в мисловна "молекула" на "атомарните мисли".
Както броят на атомите в молекулите е различен, така и моле- 1 кулите на мисълта може да имат различна степен на сложност. Планирането на неделния ден може да бъде свързано с мисълта:
АКО времето е хубаво, ТО ще отида на риба ИЛИ ще отида в планината
Получената "молекула" е по-сложна, тъй като се състои от три прости мисли, които са нейни части. Те са подчертани и означени с цифрите 3, 2, 1. Всяка от тях може да съществува като самостоятелна единица на мисълта и без връзка с останалите. Като свържем 1 и 2 в 4, получаваме пак молекула. Мисълта, представена от 5, се изгражда от 3 и 4 и отново е "молекула" с тази разлика, че е съчетание на простата истина (3) със сложна истина (4). Това съчетаване на прости истини в сложни прилича на сливането на клоните на дърво в неговия ствол:
В началото чрез съчетаване на прости истини стигнахме до сложната истина
"Ва юв е поет И Вазов е писател."
Сега се прибавят и нови връзки: АКО, ТО; ИЛИ. Близко до ума е, че те могат да свързват различни прости мисли в сложни или сложни в още по-сложни, както молекулите изграждат организъм. Тъй като те са по-постоянни от мислите, които свързват, се наричат константи. А понеже свързваните чрез тях мисли са много по-изменчиви, се наричат променливи.
ЛОГИЧЕСКИТЕ КОНСТАНТИ имат съществено значение за логиката, понеже с тяхна помощ става съчетаването на мисли в нещо по-сложно от съставките, които го изграждат. Те са познати на всеки от граматиката, в която се причисляват към съюзите. Нас ни интересува обаче не граматическата им роля да свързват изречения или части на речта, а логическата им роля да свързват мисли. Те могат да бъдат оприличени на арматурата на човешкото мислене, съвсем независимо от облика на сградата му и от конкретните материали, от които се строи.
§ 2. Условия за истинност на конюнкцията.
На първо място сред тези връзки стои КОНЮНКЦИЯТА, с която започнахме като съчетахме прости мисли за Вазов в сложното конюнктивно съчетание:
"Вазов е поет И Вазов е писател."
Това, за което мислим в отделните мисли, които са части на цялото, е едно и също.
Но това, което мислим за него, е различно, понеже свойствата "поет" и "писател", които установихме, са различни свойства. Основание да ги обединим в сложното положение е фактът, че те реално принадлежат на Вазов.
Напълно възможно е да мислим за различни неща, а това което мислим за тях да е едно и също:
"Вазов е поет И Яворов е поет", т.е. Вазов и Яворов са поети.
Нищо не пречи да са съвсем различни нещата, за които мислим, а също и онова, което мислим за тях, както е например в една френска песен:
110
111
I
"Ти си отиде И птичките престанаха да пеят."
Тук онова, което свързваме, изцяло варира, но връзката остава същата. Тази относителна независимост на връзката от компонентите, които свързва, ни дава право да представим формата на ко-нюнктивната връзка без страните, които тя свързва:
И
Сега вече местата на компонентите, които в конюнкцията се наричат фактори, са празни. Но тази празна форма обобщено подсказва възможността да се запълнят двете й страни с каквито и да е положения, стига те да играят роля на фактори на конюнкцията. Ако например поставим вляво "ти си отиде", а вдясно - "птичките престанаха да пеят", ще получим отново споменатото по-горе молекулярно положение. То има това важно и интересно свойство, че ако знаем каква е стойността по истинност (възможностите са две: истина или неистина) на факторите, можем съвсем точно да определим каква е истинностната стойност на молекулярното положение, на което те са съставки. Да предположим, че "ти си отиде" е истина, а също така е истина, че "птичките престанаха да пеят". Въз основа на предположението, изградената от тях конюнкция е истинна. След това, ако е вярно "ти си отиде", но птичките продължават да пеят, т.е. не е вярно "птичките престанаха да пеят", получената конюнкция е неистинна. Тя няма да бъде истинна и ако ти си тук, т.е не е вярно "ти си отиде", но е вярно, че "птичките престанаха да пеят". Накрая, ако не е истина "ти си отиде" и също така е неистина "птичките престанаха да пеят", конюнктивното съчетание ще е неистинно. Неговата истинностна стойност напълно се определя от съчетанията по истинност на факторите, които го съставляват. То е функция единствено на тези съчетания.
Като съпоставихме по истинност първият компонент на конюнкцията "ти си отиде", който поставихме в празното място вляво, с втория компонент "птичките престанаха да пеят", който поставихме вдясно, установихме:
1. Ако първият компонент е истинен и вторият компонент е истинен, то конюнкцията им е истинна.
2. Ако първият компонент е истинен, а вторият компонент е неистинен, то конюнкцията им е неистинна.
3. Ако първият компонент е неистинен, а вторият компонент е истинен, то конюнкцията им е неистинна.
4. Ако първият компонент е неистинен и вторият компонент е неистинен, то конюнкцията им е неистинна.
Когато пък компонентът A е неистинен, възможностите за B се запазват същите:
Ние тръгнахме от конкретни положения, отнасящи се до хора, които си отиват и до птички, които повече не пеят. Сега говорим просто за компоненти, независимо какви конкретно са те. Щом е така, може да ги заменим със символи, които да изразяват общото на всякакви фактори - компоненти. Избираме главните букви на латинската азбука Л, В, С и т.н. За означаване на тяхната истинност или неистинност ще използваме съкращенията И (за истина) и Н (за неистина). Интересуваме се единствено от съчетанията по истинност на компонентите и търсим каква е истинностната стойност на тяхната конюнкция. Възможните съчетания по истинност на двата компонента са само 4, тъй като ако първият от тях, примерно А, е истинен, за втория остават само две възможности - да е истинен или да е неистинен:
Като съчетаем тези възможности във вид на цялостна таблица, ще получим:1
1 Hacking, fan, A Consise Introduction to Logic, New York, 1972, р 118
112
113
в и
н и н
В
И
Н
и н
А И
или:
И Н Н
Изобщо, изчерпателната сума от възможните съчетания по истинност се определя чрез формулата 2n, която има за основа броят на възможните две стойности по истинност, а степенният показател е равен на броя на променливите. В нашия случай, те са две и затова възможните съчетания са 22 = 4. Граматиката обяснява как се употребява съюза "И" в езика, с който си служим. Но логиката не е граматика и логическият смисъл на конюнкцията не може да бъде изведен от различните му граматически употреби. Съчетанието "Той се прибра у дома и вечеря" изразява временна последователност на факторите и е нещо много по-различно от "Той вечеря и се прибра у дома". От логическо гледище ще оставим настрана последователността на явленията и ще ги разглеждаме като фактори на една и съща конюнкция, независимо от това, че местата на факторите са разменени. Роля на конюнктивна връзка могат да играят и други съюзи. "НО" или "МАКАР, ЧЕ" внушават някакво противопоставяне. Въпреки това "Той е богат, но не е щастлив" е конюнкция. Дори обикновената запетая може да свърже факторите, както например в "Настане вечер, месец изгрее..." В много случаи използването на граматическия съюз "И" не говори за конюнкция. Изречението "Левски и Ботев са съвременници" не може да бъде разглобено на "Левски е съвременник" и "Ботев е съвременник", тъй като в разглобения вид не е ясно на кого всеки един от тях е съвременник. Тук става дума за отношения на две неща, което изобщо не може да бъде сведено до някакви обикновени свойства на тези неща, взети отделно едно от друго.
Ние се абстрахирахме от (т.е. оставихме настрана, не обърнахме внимание на) конкретната природа на свързваните фактори и ги заменихме с променливите A и B. Сега може да направим още една крачка напред и да се освободим от многообразните употреби на граматически съюзи, които се използват за изразяване на конюнк-
ция. В логиката е въведен символ за конюнкция, който изразява общото на всички случаи, при които тя е налице. Ще използваме за тази цел една точка " . " между факторите. Тази точка ще представлява логическа константа1 - конюнкция. Схемата
И
се заменя с още по-обобщената схема:
Ние пак ще я четем като "И", но знакът за конюнкция има много по-общ смисъл от съюза "И" в нашия език.
Табличното определение на условията за истинност на конюнкцията в най-обобщения си вид, е:
A ,
В
А .
в
И
И
И
И
Н
Н
Н
и
Н
Н
н
н
Конюнктивното съчетаване на мисли е истинно само тогава, когато факторите му са истинни и е неистинно във всички останали случаи.
§ 3. Условия за истинност на включващата и изключващата дизюнкция.
Вече използвахме съюза "ИЛИ" за съчетаване на прости мисли. Неговият логически смисъл е в основата на друга връзка между тях, наречена ДИЗЮНКЦИЯ
Използването на "ИЛИ" като средство за изграждане на сложни мисли има много общо с начина, но който той се употребява в
Логическите константи се въвеждат по дефиниция и не трябва да се смесват с познатите от физиката константи, например cg - коефициента за земно притегляне, или c - за скоростта на светлината Те са резултат на опитно изследване и имат непроменлива нумерическа стойност Срв Lee N H , Symbolic Logic. New York, 1961, р 57-58
114
115
езика, с който си служим. Но все пак използването му в езика е свързано с два негови смисъла, които не трябва да бъдат смесвани. Нека се опитаме да ги разграничим. Ако например на въпроса: "Чай или кафе искате за закуска?" т.е.
"Искам чай" ИЛИ "Искам кафе",
отговорите, че искате и двете, то това би изглеждало малко странно, но не и невъзможно. Ако пък преди пътуване сте получили телеграма, че на гарата ще ви чакат познатите Иван или Петър, т.е.
"Ще ме чака Иван" ИЛИ "Ще ме чака Петър",
а се окаже, че и двамата са там, то в това няма нищо странно и ще го приемете като нещо съвсем естествено. Съвсем друго е, ако на въпроса:
"Вторник или сряда е днес?",
отговорите че е и едното, и другото. Възможно е да закусвате с чай и с кафе, естествено е да ви чакат заедно двамата познати, но не е възможно днес да е хем вторник, хем сряда. Едното от тях изключва другото. Вижда се, че двата сравнявани случая "са съществено различни. В първия едновременното съществуване на членовете на дизюнкцията, които отсега нататък ще наричаме аргументи, не е изключено. Поради това образуваната от тях сложна мисъл е ВКЛЮЧВАЩА дизюнкция. B другия случай съвместното съществуване на аргументите на дизюнкцията е изключено и поради това тя се нарича ИЗКЛЮЧВАЩА дизюнкция.
В нашия език преобладава използването на изключващата дизюнкция. Когато искаме да изразим езиково включваща дизюнкция, обикновено поставяме след "ИЛИ" едно "И" в кавички. Тъй като отново се интересуваме от истинностната стойност на полученото съчетание в зависимост от съчетанията но истинност на неговите съставки, които сега наричаме аргументи, ще се върнем към включващата дизюнкция:
"На гарата ще ме чака Иван" ИЛИ на гарата ще ме чака Петър",
Аргументите са два и пак имаме 22 = 4 възможни съчетания по истинност между тях.
Дизюнктивното съчетание ще бъде истинно, ако на гарата ви чакат и двамата, т.е. истинни са и двата аргумента. Тя ще е истина,
когато Иван ви чака, но Петър го няма, т.е. първият аргумент е истинен, я вторият е неистинен. Тя пак ще има стойност истина, когато Иван го няма, а Петър е там, т.е. неистинен е първият аргумент, но вторият е истинен. Но тя няма да е истинна, когато се окаже, че никой не ви чака, т.е. когато са неистинни и двата аргумента.
При дизюнктивната връзка между мислите онова, за което мислим, може да е едно и също, а това което мислим за него, да е различно:
"Вазов е поет" ИЛИ "Вазов е писател", което съкратено изразяваме в изречението: "Вазов е поет или писател".
Дизюнкцията е включваща, тай като свойствата "поет" и "писател" не са несъвместими. Всеки ще се съгласи, че тя е и истинна, тъй като двете качества съжителстват във Вазов. След известно колебание сигурно ще се съгласим, че същата стойност има съчетанието:
"Вазов е поет" ИЛИ "Вазов е астроном".
Дизюнкцията отново е включваща, тай като нищо не изключва възможността свойствата "поет" и "астроном" да съществуват заедно. Вероятно е имало древни енциклопедисти, които са били и поети и астрономи. Вазов не е бил астроном, т.е. вторият аргумент на дизюнкцията е неистинен, но дизюнкцията е истинна, тъй като за това е достатъчна истинността на първия й аргумент.
Дизюнктивното "ИЛИ" може да свързва мисли, отнасящи се за различни неща. Само на пръв поглед изглежда странно да съчетаваме:
"Вазов е инженер" ИЛИ "Яворов е космонавт".
Много космонавти са инженери, т.е. тези свойства често съществуват заедно. Дизюнкцията е включваща, но е неистинна поради това, че нито Вазов е бил инженер, нито Яворов е бил космонавт, т.е. неистинни са и двата аргумента. В разглеждания случай аргументите варират, а дизюнктивната връзка остава същата. Това отново ни дава възможност да се абстрахираме от тях и да минем към общата схема на дизюнкцията:
116
117
или
аргументи. В такъв случай по-общото определение за включваща дизюнкция е:
Тази обща схема може да бъде конкретизирана като поставим на празните места най-напред прости положения, а след това техни съчетания с най-различна степен на сложност. Но за да сме сигурни, че имаме включваща дизюнкция, трябва да се освободим от двусмислието на този съюз при употребата му в обикновения език, като го заменим със специален знак за включваща дизюнкция. Прието е той да се означава като клин, поставен между аргументите, които вече сме символизирали с А, В, С... Така вече стигаме до схема, в която има само променливи и константа за дизюнкцията:
А V В
Ние започнахме разсъжденията си от мисълта, записана с прости изречения. Както и при разглеждането на конюнкцията, се абстрахирахме от всичко конкретно и я заменихме с променливи. Променливите са две и знаем, че възможните съчетания по истинност са 22 = 4. Единственото, което ни интересува, е стойността на включващата дизюнкция като резултат от съчетаването на истинностни-те стойности на променливите. Вече може да изградим таблицата за истинност на включващата дизюнкция от два аргумента:
А И И Н Н
В И Н
И
н
А
V В
И
И
И
Н
Условия за истинността на вкючващата дизюнкция е истинността поне на един от (това не изключва повече от един или всички) аргументите й.
Условията за истинност на изключващата дизюнкция са други. "Днес е вторник или сряда" е изключваща дизюнкция, която вече споменахме. Основанието да я считаме за изключваща бе в невъзможността днес да е вторник и заедно с това да е сряда. Но за да се убедим, че и при нея аргументите могат да се менят, ще използваме пример с други аргументи, които притежават същата структура. Той принадлежи на големия логик от древността Хризип (281-208 г. пр.н.е.), който пръв е разкрил умозаключителните заложби на този вид дизюнкция.1
"Ден е или е нощ"
Не е възможно едновременно да е ден и да е нощ; ако е ден, то не е нощ; ако е нощ, то не е ден; накрая не е възможно да е нито ден, нито нощ.
За да бъде строго разграничена изключващата дизюнкция от включващата, е въведен специален знак. Той представлява същия клин, който използвахме за означаване на включващата дизюнкция, но обърнат надолу и пак поставен между аргументите:
А Л В
А таблицата й за истинност има вида:
Двуаргументната включваща дизюнкция е истинна тогава и само тогава, когато (1) са истинни и двата й аргумента; (2) при истинност на първия и неистинност на втория аргумент; (3) при неистинност на първия и истинност на втория аргумент. Тя е неистинна единствено при неистинност и на двата й аргумента.
А И И Н Н
В
И
н
И
н
Л
я
И И
н
В
Ще видим, че това, което важи за включваща дизюнкция с два аргумента, важи за включваща дизюнкция с какъвто и да е брой
118
1 Mates Benson, Stoic Logic, Univ. of California, 1961, p. 72
119
Изключващата дизюнкция е истинна само тогава, когато нейните аргументи имат различна логическа стойност (единият аргумент е истинен, а другият - неистинен) и е неистинна, когато аргументите й имат еднаква логическа стойност (и двата са истинни, а също така и двата са неистинни).
Таблицата за истинност, която получихме, е различна от таблицата за истинност на включващата дизюнкция. Но не бива да мислим, че тя е обратното на включващата дизюнкция, понеже я означаваме със същия клин, но обърнат надолу. Сравнението на таблиците показва това. Ще видим, че тя не се отнася към основните логически константи, а е отрицание на друга константа, наречена еквивалентност, която ще разгледаме по-нататьк.
§ 4. Условия за истинност на импликацията.
Много често свързването на някакви положения става като поставим "АКО" пред първото и "ТО" между първото и второто:
"АКО барометърът пада, ТО иде буря."
Тук имаме съчетаване на две прости мисли с помощта на съюза "АКО", "ТО", които се нарича ИМПЛИКАЦИЯ "Барометърът пада" изразява първата проста мисъл и се нарича АНТЕЦЕ-ДЕНТ (предходник) на импликацията. Думите "иде буря" изразяват втората проста мисъл и се нарича КОНСЕКВЕНТ (следовник) на импликацията. Целостта, изградена от тях посредством логическата връзка импликация, представлява условно положение, което утвърждава връзката между антецедента и консеквента. Такива условни положения непрекъснато се срещат в нашето мислене. Достатъчно е малко да се замислим за случаите, в които ги използваме, за да се убедим, че когато казваме "АКО", не твърдим, че антецедентът, който непосредствено го следва, е истинен. Също така, когато казваме "ТО", не твърдим, че консеквентът, който непосредствено го следва, е истинен. Единственото нещо, което утвърждаваме, е връзката между антецедента и консеквента. Тази връзка е в това, че АКО антецедентът е истинен, ТО е истинен и консеквентът. Същото е когато някои твърди: "Ако нещата в света следват своя досегашен ход, то третата световна война ще бъде избегната". Естествено никой не се наема да твърди, че нещата ще следват задължително своя досегашен ход, нито пък е задължител-
но третата световна война да бъде избегната. Твърди се само това, че ако първото е вярно, то и второто ще бъде вярно. В този смисъл ще казваме, че антецедентът имплицира консеквента.
В нашия език обикновено при използването на "АКО, ТО" имаме предвид установяване на връзка между някакви условия и техен резултат. Но условията за настъпването на някакво явление, например на мокрота на почвата са много и са различни: вали дъжд, топи се снегът, полива се почвата и пр. Затова импликацията
"АКО вали дьжд. ТО земята става мокра"
е истинна не само когато действително вали дъжд и наистина земята е мокра (т.е. при истинност на антецедента и на консеквента), но и в случай, че не вали дъжд, а земята е мокра, т.е. антецедентът е неистинен, а консеквентът е истинен - например дъжд не вали, но земята е мокра поради топенето на снега.
С логическата връзка "АКО, ТО" може да бъдат свързани различни мисли, различни антецеденти и консеквенти. Като ги обобщим с променливите А, В, ще получим:
"АКО A, ТО B"
Но тъй като импликацията "АКО, ТО" се отнася до най-различни типове връзки, то за да бъде обхванато общото им, в логиката се използва специален знак, който да фиксира това общо. Той представлява стрелка, поставена между антецедента и консеквента и насочена от първия към втория:
A -> B
която ще четем "Ако A, то B".
Нека помислим кога в разгледаните случаи импликацията няма да бъде истина. В "Ако барометърът пада, то иде буря" тя ще бъде неистинна, ако наистина барометърът пада, а не иде буря. В "Ако вали дъжд, то земята става мокра", тя ще е неистинна единствено, когато наистина вали дъжд, а земята не става мокра. Можем да прибавим и много други случаи на импликация, които не сме споменавали "Ако потопим лакмусова хартия в киселинен разтвор, то тя става червена" ще е неистинно само тогава, когато сме поставили лакмусовата хартия в киселинен разтвор, то тя не е почервеняла. Изобщо единственият случай на неистинна импликация е: антецедентът е истинен, а консеквентът не е истинен.
Вече се очертават условията за истинност на импликацията. В
120
121
тяхната цялост може да ги проследим в известното на всички условно твърдение:
"Ако се учиш, то ще сполучиш"
Има ученици, които са учили и са сполучили (ИИ - истинен антецедент, истинен консеквент; има такива които не са учили, а са сполучили (НИ - неистинен антецедент, истинен консеквент); съществуват и такива, които не са учили и не са сполучили (НН - неистинност на антецедента и на консеквента). Остава само съчетанието ИН - истинен антецедент, неистинен консеквент. Какво да кажем за него? Има ли хора, които са учили, но не са сполучили? Има, разбира се, и това е, така да се каже, най-несправедливото съчетание. Кой не е чувал за възражението: "Каква е ползата от ученето, след като ония там сполучиха, без да се учат?" Но това съчетание е единственият случай, в който импликацията "Ако се учиш, то ще сполучиш" е неистинна. Той е нейното отрицание, т.е. когато то е вярно, импликацията е невярна. Сега вече идва ред на таблицата за истинност на импликацията:
личава от обикновената импликация и не бива да се смесва с нея. Това личи например от съпоставката на по-горе приведеното положение с: "Ако е човек, то е смъртно", което означаваме с (A -> B). Но дали ако разменим местата на антецедента и консеквента, полученото твърдение: "Ако е смъртно, то е човек", т.е. обобщено: (B -> A) е в сила?
Очевидно не е, тъй като и другите живи същества, без да са хора, са също смъртни. Излиза, че обикновената импликация не е обратима (не е симетрична). От (A -> B) не следва (B -> A). Нека сравним това с връзката между равностранен и равноъгълен триъгълник. Ако триъгълникът е равностранен, то той е равноъгълен, т.е. (A -> B). Но също така можем да кажем и обратното: "Ако триъгълникът е равноъгълен, то той е равностранен", т.е. (B -> A). Излиза, че зад нашето "Ако, то" в двата случая се крият различни отношения. Обикновената импликация е необратима (= несиметрична). При нея от (A -> B) не следва (B -> A). Еквивалентните положения взаимно се имплицират. При тях от (А -> В) следва обратното (B -> A).
А И И Н Н
В
И
н
И И
В И Н И Е
§ 5. Условия за истинност на еквивалентността.
В геометрията срещаме твърдението: "Ако и само ако един триъгълник е равностранен, то той е равноъгълен", с което се разкрива геометрическата истина, че равностранен и равноъгълен триъгълник са различни наименования на едни и същи триъгълници, но веднъж делени въз основа на страните, а след това въз основа на ъглите им. Съюзът "АКО И САМО АКО" или равнозначното му "ТОГАВА И САМО ТОГАВА" представлява нова логическа константа, наречена ЕКВИВАЛЕНТНОСТ. Обикновено заменяме по-трудното за произнасяне "АКО И САМО АКО" с "АКО, ТО", с което превеждаме познатата ни вече импликация.
"Ако един триъгълник е равностранен, то той е равноъгълен"
Вярно е, че импликацията е в сила. Но новата константа се от-
Обикновената импликация е необратима, тъй като е отношение на много условия (дъжд, топене на сняг и пр.) Към едно следствие (мокрота на почвата). Еквивалентността е обратима, тъй Като е отношение на едно условие Към едно следствие.
Като съединим двете стрелки, насочени в противоположни посоки, с получения от тях нов знак <-> ще изразяваме новата константа, наречена еквивалентност:
В
А
В случая не е необходимо да привеждаме много примери за свързване на различни мисли посредством знака за еквивалентност и чак след това да ги обобщаваме в променливи А, В, То е съвсем елементарно и ние сме подготвени за него.
Знакът подсказва, че когато е в сила еквивалентност между A и B, то A имплицира B, а също и B имплицира A, т.е. импликацията е двустранна Ние пак можем да използваме "ако, то" в случаите на еквивалентност, но няма да забравяме, че тя представлява не еднопосочна, а двупосочна връзка.
Нас отново ще ни интересуват условията за истинност на сложната мисъл еквивалентност в зависимост от съчетанията по истинност на простите мисли, които я изграждат. Понеже възможните
122
123
стойности пак са две - истинност и неистинност, а и страните на еквивалентността са две, възможните съчетания пак са 22 = 4.
Да разгледаме геометричния пример от гледна точка единствено на съчетанията по истинностна стойност на страните му:
1. Възможно е триъгълникът да е равностранен и заедно с това да е равноъгълен (= двете страни на еквивалентността са истинни). В такъв случай еквивалентността е истинна.
2. Не е възможно триъгълникът да е равностранен, а да не е равноьгьлен (= лявата страна на еквивалентността да е истинна, а дясната да не е). Еквивалентността е неистинна.
3. Не е вьзможно триъгълникът да не е равностранен, а да е равноъгълен (= лявата страна на еквивалентността е неистинна, а дясната не е). Еквивалентността е неистинна.
4. Възможно е триъгълникът да не е равностранен и заедно с това да не е равноъгълен. Такъв например е равнобедреният триъгълник. Еквивалентността е истинна.
Следователно обобщената таблица за истинност на еквивалентността е:
A , В А 44" В
И И И
И Н Н
Н И II
Н Н И
Еквивалентността е истинна при еднаква стойност на свързваните мисли (= едновременна истинност и едновременна неистинност). Тя е неистиння при различна стойност на свързваните мисли (едната истинна, а другата - неистинна).
След като знаем, че съпоставяме мисли само с оглед на тяхната истинност или неистинност, няма да се стряскаме пред случай, когато се поставя знак за еквивалентност между мисли, които нямат нищо общо в съдържанието си:
2 + 2 = 4 <-> Земята е планета
Съдържанието на мислите не ни интересува изобщо. Интересува ни само това, че и двете са истинни. Следователно еквивалентността е в сила, докато в съчетанието
2 + 2 = 4 <-> Луната е планета
еквивалентността е неистинна, защото лявата страна е истинна, а дясната не е истинна. Ако съпоставим таблицата за истинност на изключващата дизюнкция ще видим, че там където едната е истинна, другата е неистинна, и обратно. Това значи, че изключващата дизюнкция е отрицание на еквивалентността, т.е. когато (А <-> В) е вярно, то (A A B) не е вярно, и обратно.
§ 6. Отрицанието и неговата обективна основа.
В предишното изречение използвахме думата ОТРИЦАНИЕ, която играе важна роля за съчетаване на човешки мисли. Да предположим, че някои изказва твърдение за формата на покрива на отсрещната сграда, която се вижда от прозореца ни:
"Формата на покрива е триъгълна."
Поглеждаме през прозореца и казваме:
"Не е вярно, че формата на покрива е триъгълна."
Тези две твърдения не могат да бъдат едновременно истинни. Ако е истинно едното от тях, то е неистинно другото. Едното е отрицание на другото.
Може да ни се стори, че отхвърлянето на някакви мисли, което е налице при отрицанието, представлява просто резултат на нашето неодобрение, несъгласие с тях. Такива явления съществуват, но не могат да обяснят отрицанието като логическо явление. Ако истината е на ваша страна, то вие сте достигнали до нея в резултат на следното разсъждение: Ако формата на покрива е триъгълна, то трябва да притежава известните от геометрията признаци на триъгълника; но тя няма тези признаци и следователно не е триъгълна. Установяването, че формата на покрива не е триъгълна предпоставя, че знаете що е триъгълник. Вие сте решили например, че тя има форма на трапец, защото знаете от геометрията що е трапец и установявате че го има там, на покрива. Трапец и триъгълник са различни фигури, които са несъвместими: това, което е трапец, не е триъгълник, и обратно.
124
125
Следователно, основа на отрицанието, на отхвърлянето на твърдението, е установяването на друга действителност, ко-ято е несъвместима с отречената.
Казаното по-горе може да бъде онагледено с една елементарна схема:
Знакът, с който представяме отрицанието, представлява черта, поставена над отделна променлива или над сложно положение
А , А -> В , което ще четем съответно :
"не е вярно А", не е вярно, че Л имплицира В. Понякога ще се наложи да използваме със същото значение знак тилда (~), поставен пред отречените положения. Горните положения имат същия смисъл, ако са записани така:
~ А ; ~ (А -> В)
А Н И
Табличното определение на отрицанието не създава никакви трудности. Тук възможните съчетания по истинност са само 21 = 2 (две стойности - ИН, повдигнати на първа степен)
А И Н
Правоъгълникът обхваща всички оцветени неща и представлява тяхната сума. Кръгът вътре в него разделя заградената област на две подобласти, които са строго разграничени. Той загражда нещата, които са бели. Вън от тях, но в рамките на правоъгълника, са нещата, които не са бели. Какво означава да отречем твърдението "Това е бяло"? Това не означава просто да не се съгласим с него, а да се отнесем към другата действителност, която е извън кръга А тя представлява оцветените по друг начин неща "Не бяло" е съвкупността от оцветените по друг начин неща. Това е бяло + това не е бяло = всички оцветени неща, заградени от правоъгълника. Отричането на твърдението "това е бяло" има основание в това, че сме установили, че нещото е синьо или зелено, но те са части на онова, което не е бяло.1
Това всъщност е известно на всеки ученик от математиката, в която например числата се делят на четни и нечетни, на цели и дробни, изобщо на клас и допълнителен клас, които взаимно се изключват и заедно с това изграждат някаква цялост.
Логическото отрицание на една истина води до неистина и обратно. Отрицанието е обратимо, т.е. симетрично.
Намесата на отрицанието може да повдигне въпроса: нали тръгваме от прости истини, за да ги съчетаем в по-сложни? А сега излиза, че ще съчетаваме истини и неистини. Но това не бива да ни смущава, тъй като онзи, който установява неистинността на едно твърдение, също претендира, че е стигнал до една истина Когато казваме "А не е вярно", все едно, че казваме: "Вярно е, че "А" не е вярно".1
Естествено е, че както и при останалите логически константи, трябва да внимаваме при прехода от мисли, изразени с родния ни език, към символния език, с който си служи логиката. Да речем учителят например казва някому: "Ти си тук, но те няма". То е съкращение от "Ти си тук" и "Ти не си тук". Как да го изразим с езика на логиката? Ако го схванем буквално, трябва да го изразим като конюнкция на А и не А (А . А), което е противоречие. Но ако учи-
"Всички членове на дизюнкцията, взе ги заедно, освен един, са в противоречие с този един" Ср И Кант, Трактаты и письма, Логика, М , 1980, с 429
126
1 Спасов Добрин, От логика към социология, С , 1980, с 29
127
телят е искал да каже, че "ти си тук тялом, а си там духом", ще го изразим просто като конюнкция между различните положения Л и В (Л В) Но ще видим, че между тях има съществена разлика
Отделните таблици за истинност могат да бъдат сглобени в едно цяло
УПРАЖНЕНИЯ
А И И Н
н
в и н и н
А В И
н н н
А -> В И
н и и
А <-> В И Н
н и
А V В И И
и н
Истинностната стойност на сложните мисли се определя единствено от съчетанията по истинност на простите мисли, които ги изграждат. Движението от прости мисли, изразени на родния ни език, към сложни мисли, изразени със символен език, представлява ОБОБЩАВАНЕ. Обратнбто двиЖение от символни изрази към изразяването им на родния ни език, представлява КОНКРЕТИЗАЦИЯ.
ЗАДАЧИ
ОТГОВОРИ
Определете главната константа В изразите:
1 A -> AVB
1 Импликация Тя е по-надясно В реда на константите
2 A -> AVB
2 Отрицанието
3 А -> В -> С
3 Еквивалентността
4 (А<-> В)->С
4 Сега е импликацията
5 AVB -> A В
5 Импликацията
6 (А -> В) А <-> С
6 Конюнкцията
7 /A -> (BVC)] (А <-> C)
7 Конюнкцията
8 A В -> АVB
8 Отрицанието
Изразете със символни средства:
9 Ще те изпитам, само ако имаш разрешение от дирек тора
9 Изпитвам те - А Имаш разрешение от директора - В А <-> В
10 Той е хитрец, а ти си наивник
10 Той е хитрец - А Ти си наивник - В А В
11 Свобода или смърт!
11 АЛВ
128
129
12 Зад онзи баир има Вода или няма Вода
12 AVA
13 Денем призраци мъгливи, нощем тъмни тъмноти, пъплят облаци дъждливи В поднебесни Висоти Яворов
13 А В С
14 Всеки равностранен триъгълник е равноъгълен и обратно
14 (А -> В) (В -> А) Може и с еквивалентното му А <-> В
15 Полъхна хладен вятър, изпълнен с дъх на билки, засвириха щурци, а в тъмнината широко и сладостно се разля песента на звънците (Й Йовков)
15 А В С D
16 Ако през намотка протече електрически ток, около нея възниква магнитно поле, което предизвиква преразпределение на електрическите товари
16 А -> (В -> С)
17 Нито психологията, нито граматиката могат да изяснят природата на логическата необходимост
17. А - психологията изяснява природата на логическата необходимост. В - граматиката изяснява същото
А V В но същата стойност има и А В
§ 7. Определяне на главната константа в по-сложни молекулярни положения.
Свързването на прости мисли в сложни е нещо обикновено за човешкото мислене. Съчетаването на елементарните "атоми" на мисълта в "мисловни молекули" прилича на прибавянето на тухла към тухла при строежа на дом. Но ние едва ли можем да преценим какви са логическите черти на мисленето, ако разполагаме само със съчетания, получени от прости мисли посредством логическите връзки, които разгледахме. Както в строителството се използват не само прости тухли, а и тухли - тройки или четворки, така и в мисленето сложните мисли се обединяват в още по-сложни. Така се стига до разсъждение, което обикновено завършва със "следователно". Ние се питаме дали тази дума е поставена на място, т.е. дали онова, което претендира да е следствие, действително е такова. Ще видим, че това зависи не от материалите, с които се строи, а от подредеността, от връзките между тях. Те не са променени, а остават същите. Сложните мисли се обединяват в още по-сложни пак посредством познатите ни вече конюнкция, дизюнкция, имп-ликация, еквивалентност, отрицание. Те подреждат всякакви по сложност мисли, а подредеността вече е разсъждение. Според едно предание Платон приел в своята академия Аристотел след като видял, че той редил камъните на зида по-иначе, в сравнение с останалите зидари...
Нека тръгнем от разсъждението, което още не е умозаключе-ние:
"Ти и аз ще свършим тази работа или сме загубени"
Съставките на сложната мисъл са: "Ти свършваш тази работа" и "аз свършвам тази работа", "загубени сме". Знаем, че най-напред трябва да се абстрахираме от всичко конкретно, свързано със съставките, като ги заменим с променливи. Като сторим това, ще получим:
А и В или С
А сега да се издигнем на по-високото равнище на обобщение като заменим "и" и "или" с познатите ни знаци за конюнкция и дизюнкция:
А . В V С
Как да четем това сложно положение, в което с променливи и знаци между тях сме изразили сложната мисъл, от която тръгнах-
130
131
ме? Знаците са два и следователно има две възможности: да го разглеждаме като конюнкция, в която първият фактор е Л, а вторият е дизюнкцията между В и С. Втората възможност е да го схванем като дизюнкция, първият аргумент на която е конюнкцията на А и В, а вторият аргумент представлява С. С други думи, трябва да се питаме: кой знак е по-важен?
Определянето на главния знак е нещо познато още от първо отделение, когато сме изучавали елементарна аритметика, в която се използват аритметически знаци. Всеки знае, че равенството е главен знак в елементарното аритметическо положение:
5 х 3 = 20 - 5
В него знакът за изваждане вдясно и знакът за умножение вляво имат второстепенно значение. Най-напред трябва да извършим тези аритметически действия, а след това да видим дали между тях е в сила равенството.
Но кой знак да предпочетем в случая, който имаме.
А
В V С ?
тори А, което по условие е неистинно и дизюнкцията В V С, която при истинност на аргументите й е истинна. Ако пък четем съчетанието като дизюнкция, тя има за аргументи конюнкцията А . В, която е неистинна и С, което е по условие истинно. В такъв случай съчетанието ще има стойност истина. Възможността да стигаме до съвсем различен, противоположен краен резултат, при различен прочит на символни изрази е наложила въвеждането на скоби, познато от елементарната математика: Изразът А . (В V С) е конюнкция от два фактора, тъй като ГЛАВНАТА КОНСТАНТА, ГЛАВНИЯТ ЗНАК в него е конюнкцията. Това показват скобите. Но ако липсват скоби, или целият израз не е под черта на отрицанието, той има за главен знак дизюнкцията. За да не се усложнява записването, а и разчитането на израза чрез натрупване на малки, средни или големи скоби, в логиката е приета уговорката главната константа да се търси по-надясно в реда, по който определихме логическите константи:
Съвсем не е едно и също какво ще решим В тази символна форма ние не знаем каква е стойността по истинност на променливите А, В и С. Това, което знаем е, че всяка от тях е истинна или не е неистинна. Променливите са три и следователно възможните съчетания по истинност между тях са 23 = 8 (две стойности, повдигнати на степен равна на броя на променливите). Не е необходимо да проследяваме всички осем съчетания по истинност, за да видим до какъв краен резултат ще стигнем, ако приемем отначало конюнкцията като главен знак, а след това проверим дали ще стигнем до същия краен резултат за стойността на израза, ако приемем, че знакът дизюнкция играе такава роля.
Нека по аналогия с известния на всеки начин на решаване на математически задачи приемем по условие, че А е неистинно, а В и С са истинни. Като поставим тези стойности под променливите и се ръководим от таблиците за истинност, ще видим, че ако четем съчетанието
А . В V С
Н И И
като конюнкция, то ще бъде неистинно: конюнкцията има за фак-
132
Това значи, че ще предпочетем дизюнкцията пред конюнкцията; ще предпочетем импликацията пред дизюнкцията или конюнкцията; ще предпочетем еквивалентността пред всички останали. Движението от знака конюнкция, през знак за дизюнкция и импликация към еквивалентност е движение към константа с по-голям обхват. Обратната посока е движение към по-голяма свързваща сила, т.е. конюнкцията свързва по-силно от дизюнкцията, а тя на свой ред свързва по-силно от импликацията и еквивалентността. Някои съвременни автори1 предлагат определянето на главната константа да завърши с поставяне на стрелка над нея, която я посочва. Това е удобно, тъй като винаги ще я имаме пред очите си и няма да я сбъркаме с някоя от останалите константи. Изразът, който разглеждаме, ще бъде записан така:
А
Сега вече няма съмнение коя е главната константа.
Определянето на главната константа ни показва какъв израз имаме пред себе си. С това е определен и редът, в който трябва да разглеждаме мислите. В случая трябва да определим най-напред
1 Срв Bergmarm Marrie, Moor James, Nelson Jack, The Logic Book, New York, 1980, р 67
В V С
стойността на конюнкцията, а след това получената стойност ще бъде съпоставена със стойността на С, за да намерим стойността на дизюнкцията, изградена от тях.
Ако по условие приемем, че Л и В са истинни, а С е неистинно, ще получим:
I А . В V С
И
И
II
И
Намираме стойността на антецедента (A -> C) и след това съпоставяме получената стойност със стойността на консеквента (В). Установяваме, че стойността на израза, при тези условия е истина. Ако този израз се отрича, т.е.
A -> C -> B,
тъй като не можем да поставим стойности под линията на отрицанието, която го покрива открай докрай, ще изведем отрицанието пред израза чрез тилда (~), а изразът ще бъде заграден със средни скоби:
И
2
Най-напред намираме стойността на конюнкцията. Тя е истинна, тъй като са истинни факторите й. След това съпоставяме получената стойност със стойността на С и намираме, че дизюнкцията е истинна, тъй като левият й аргумент е истинен (1). Накрая записваме този резултат под главната константа (2).
При същите условия изразът:
(A -> С) -> В
В]
Н
з
Отрицанието на израза автоматично води до преместване на главната константа върху него Кое е това, което се отрича? То е заградено в средните скоби и е импликация. По-горе намерихме в (2), че стойността му е истина. Сега трябва да продължим като направим още една стъпка и запишем под тилдата, която е новата главна константа, стойност неистина (3).
в който роля на главна константа играе втората импликация, ще бъде разгледан в следния ред: поставяме стрелката над главната константа; записваме под променливите дадените по условие стойности; след това постепенно определяме стойността на главната константа, която е стойност на целия израз.
(А ->
С) ->
В
И
II
Н
Н
1
И
2
Главната константа в главният свързващ елемент в една поре
дица от мисли. Когато те са записани със символни средства,
ще я търсим по-надясно в реда, в който определихме констан
тите: . V ,->,<->
Когато се налага използване на сКоби, ще се ориентираме кое е заградено с тях и Каква роля играе в цялото съчетание. При дадени по условие стойности на променливите, ще извършваме анализа последователно, стъпКа по стъпКа, без никакво прескачане. Той започва с Константи, Които имат най-малъК обхват и завършва с определяне стойността на главната константа. B началото на анализа таблиците за истинност на основните ло-гичесКи Константи трябва да са пред очите ни.
Изразът е импликация, която има за антецедент импликация. Консеквент на израза е отрицанието на B. По условие B е истинно и затова ще поставим под отрицанието му (В) стойност неистина.
134
135
УПРАЖНЕНИЯ
Запазваме по условие същите стойности на променливите А и В - истинни, С - неистинна Ще прибавим още една променлива D, която пак по условие ще приемем за неистинна Някои от задачите ще имат отговори, а други ще бъдат оставени за самостоятелни занимания
136
137
§ 8. Умозаключителни възможности на импликацията - модус поненс и модус толенe на условно - категоричния силогизъм.
Способността да се правят умозаключения е специфична човешка способност. Тя представлява извеждане на едни мисли от други вече съществуващи мисли. Знаем, че мислите от които тръгваме, се наричат предпоставки, а мислите, които извличаме от тях се наричат изводи. Знаем също, че предпоставки и изводи са съществено свързани неща, които взаимно се предполагат и затова се определят едно чрез друго - едни или други мисли са предпоставки, когато от тях с необходимост следват мисли, които са техни следствия. Обратното също е в сила - някаква мисъл е следствие, ако произтича от други мисли, които са нейни предпоставки. Видяхме още, че необходимостта на следването на мисли от други мисли произтича от външни за човека зависимости. Без дори да подозираме понякога, ние фактически сме ги осъзнали и сме се съобразили с тях.
Простите мисли не могат да бъдат непосредствена основа за извеждане на други мисли. Намирате се например на палубата на кораб в открито море и между многото впечатления, които имате, е и това, че живачният стълб на барометъра е много по-нисък, отколкото например преди час. Вие констатирате това в простата мисъл:
"Барометърът пада"
И какво от това? Сигурно мнозина ще кажат, че следва разра-зяването на буря. Но тези, които правят този извод, вече са напуснали пределите на простата мисъл, свързали са я с други мисли и от тяхното съчетаване са стигнали до извода за приближаващата буря. Те знаят, че:
1. Изобщо падането на барометъра е признак за настъпване на буря. Присъединили са към тази мисъл простата мисъл-констатация:
2. Барометърът пада.
Само от съчетанието на тези мисли, които вече са предпоставки, се прави извода:
3. Следователно настъпва буря.
138
Като че ли изводът само привидно следва от простата мисъл, взета в нейната самостоятелност, независимо от връзката й с други мисли. Разбира се, че в този случай капитанът няма да се задоволи с извода, а ще действа. Въз основа на други знания, които са свързани с полученото знание за приближаването на буря, той ще заповяда да се свалят платната, да се измерят скоростта и посоката на вятъра, да се установи кораба така, че да устои на бурята... Пак на тази основа той сигурно ще нареди на умозаключаващите пасажери да опразнят палубата и да се скрият в каютите.
За нас в случая е важно това, че простата мисъл трябва да бъде съчетана с мисли, които са осъзнаване на по-общи зависимости. Тези по-общи зависимости са дълбоката земна основа на сложните съчетания, които вече разгледахме - конюнкцията, дизюнкцията, импликацията и еквивалентността.
Таблиците за истинност разкриват свойствата на прости, но основни отношения, които са вплетени в тъканта на съчетанията от мисли. Затова от съединяването на сложни мисли с други мисли са стига с необходимост до изводи.
Всяко съчетание, изградено с помощта на коя да е логическа връзка, крие в себе си умозаключителни заложби. Когато към такава сложна мисъл се прибави друга мисъл, която утвърждава или отрича някой от компонентите на сложната мисъл, умозаключи-телните заложби се реализират, възможността за извеждане се осъществява.
Тези възможности са много. Ще разгледаме само някои, особено тези, които са били изучавани още в древната логика.1
Нека да започнем с връзки между мисли, изразени на нашия език:
1. Ако на Юпитер има действуващи вулкани, то има въглероден двуокис в атмосферата му.
2. Установено е, че на Юпитер има действуващи вулкани. Следователно, има въглероден двуокис в атмосферата му.
Първата мисъл е условно положение, изградено с помощта на познатата ни вече импликация. Лесно може да определим нейния антецедент: "на Юпитер има действуващи вулкани" и нейния кон-секвент: "има въглероден двуокис в атмосферата му". Второто положение утвърждава наличието на антецедента. Изводът представ-
1 Mates Benson, Stoic Logic, Univ. of Call Press, 1961, p. 58-86.
139
лява утвърждаване на консеквента.
За нас вече не е трудно да заменим с променливи антецедента и консеквента, а също и връзката "АКО, ТО" с познатия ни знак за импликация.
Второто положение е утвърждаване на антецедента и следователно трябва да бъде записано с буквата, с която сме го означили. Трите точки под чертата заместват "следователно":
Същото, но записано линейно, ще изглежда така:
(А -> В) . А -> В,
т.е. импликацията, взета заедно с утвърждаване на антецедента й, води след себе си консеквента. Главната константа тук е втората импликация, С нея сме заменили трите точки от предишния запис.
Символният запис точно възпроизвежда структурата на свързаните мисли, от която тръгнахме. Разликата е само в това, че умо-заключението, което изразихме със средствата на родния ни език, е образно казано от плът и кръв, а символният запис е само неговият безжизнен скелет.
Но как да сме сигурни, че от утвърждаването на антецедента на една истинна импликация следва нейния консеквент? Няма да разчитаме на интуицията си, а ще прибегнем към таблицата за истинност на импликацията и ще намерим къде в нея, първо, импликацията е истинна и второ, заедно с това е истинен нейният антеце-дент:
Импликацията е истинна в три случая, но само в първия от тях (той е подчертан) е истинен нейният антецедент. В този случай стойността на В, на консеквента, е също истинна.
Структурата на умозаключението, което разглеждаме е изучавана още в древността. Наричат го условно-категорично умозаклю-чение, тъй като първата предпоставка е условна мисъл, а втората мисъл категорично (т.е. безусловно) утвърждава антецедента. В логиката го наричат обикновено МОДУС ПОНЕНС, т.е. утвърдителен вид на условно-категоричното умозаключение.
МОДУС ПОНЕНС: (А -> В) . A -> В
От утвърждаване антецедента на една истинна импликация следва утвърждаване на нейния консеквент.
Ако съчетаем истинната импликация:
1. Ако нещо е човек, то е смъртно същество; с отрицанието на консеквента й:
2. Съществото не е смъртно; е естествено да стигнем до извода:
Следователно, то не е човек
Структурата явно е:
(А -> В) В -> A
A ,
В
А -> В
И
И
И
И
н
Н
Н
и
и
Н
н
и
Ако сме затруднени, отново ще се върнем към таблицата за истинност на импликацията и ще се убедим, че истинна импликация и неистинен консеквент съвпадат само в последния, четвъртия случай. В таблицата той е подчертан с пунктир.
Това представлява отрицателната разновидност на условно-категоричното умозаключение. Наричат го МОДУС ТОЛЕНС, тъй като при него чрез отричане на консеквента се стига до отричане на антецедента. Разглежданите случаи трябва внимателно да бъдат различавани от други, които имат външна прилика с разглежданите, но всъщност представляват логически грешки.
140
141
