ognevi

МОДУС ТОЛЕНС: (А -> В) . В -> A
Отричането на консеквента на една истинна импликация води
до отричането на антецедента.
Да предположим, че някой обосновава по такъв начин безспорния факт, че не сме известни на обществеността:
Ако си Стоичков, то си и известен. Ти не си Стоичков; Следователно не си известен.
Структурата на "умозаключението" е:
(A -> B) . А -> В

(A -> В) В -> A
И без помощта на таблицата може да разкрием нелогичността на разсъждението. Мокротата на почвата може да е резултат от топене на снега, т.е. не е задължително свързана с наличието на явлението дъжд. Тази грешка се нарича "утвърждаване на консеквен-та", когато на тази основа се опитваме да утвърдим антецедента.
Логически грешки = нарушаване на вътрешната връзка на структурата на мислите. Логическата грешка представлява отричането на консеквента на една истинна импликация въз основа на отричане на нейния антецедент. Логическа грешка е също да се утвърждава антецедента на една истинна импликация въз основа на утвърждаване на нейния консеквент.



Тук от отричане на антецедента се прави опит да се заключи, че и консеквентът е неистинен. От затруднението, ако има такова, ще ни избави таблицата за истинност на импликацията. От трите случая на истинност на импликацията само в третия и четвъртия случай антецедентът е неистинен. Като разгледаме тези два случая, ще видим, че в третия неистинният антецедент се съчетава с истинен консеквент, а в четвъртия - той се съчетава с неистинен кон-секвент. Както вече отбелязахме, Аристотел учи, че "извод е онова, което следва с необходимост." Тук нищо не следва с необходимост. Следователно, няма извод.
А щом няма извод, положенията които предшестват, нямат качества на предпоставки. Този логически дефект се нарича "грешка на отричане на антецедент".
Но дори да не прибягваме към таблицата за истинност, можем да разкрием нелогичността на разсъждението по друг начин. Вярно е, че ти, аз и т.н., сме неизвестни. Но тези неща се отнасят към конкретната материя на разсъждението. Видяхме, че като ги заменим с променливи, запазвайки същата обща структура, можем вече да ги конкретизираме по най-различен начин. Какво ще се получи, ако заменим "ти" в "ти не си Стоичков" с Исак Нютон?
Вярно е, че Исак Нютон не е Стоичков, но не е вярно, че той не е известен. Следователно в случая е сбъркана самата структура, понеже веднъж с нея "стигаме" до истинни, а друг път до неистинни "изводи".
Същото би се получило, ако от положенията "Ако вали дъжд, то земята става мокра" и "Земята е мокра" направили извода, че "вали дъжд" Схематично:

§ 9. Умозаключителни възможности на дизюнктивната връзка - модус толендо поненс и модус понендо толенс на ди-зюнктивното умозаключение.
Нека сега, без да прибягваме към конкретни примери, разсъждаваме върху умозаключителни заложби на включващата дизюнкция само въз основа на онова, което знаем за нея от таблицата й за истинност. Ще приведем само нея, за да я виждаме:

А , И
В
И
А V И
В
И
н
И

Н
И
И

Н
и
Н

Какво знаем за една дизюнкция без каквито и да е нейни конкретизации? Това, че тя е истинна при истинност поне на един от аргументите й. С други думи, ако не единият, то поне другият трябва да е налице. В предшествуващото изречение са изразени умозаключителните заложби, които искаме да разкрием. Ако единият аргумент от тях е неистинен, то задължително другият трябва да е истинен. Защо? Защото ако другият също е неистинен, ще излезе, че и двата са неистинни, а това е случаят, в който дизюнкцията е



142

143






неистинна (последният, четвъртият ред в таблицата). Допускането, че дизюнкцията е истинна, вече задължително води до приемане истинност на поне един от аргументите. Ако отричането на единия не води с необходимост до наличие на другия, ще се получи противоречие с първоначалното допускане за истинност на дизюнкцията. Достигането до противоречие (едновременно утвърждаване и отричане на едно и също нещо) е като червена лампичка, която ни предупреждава, че някъде връзката на мислите се е скъсала. Затова схемата на умозаключението е:
В
А
(А V В)
Съвсем същото по структура има в:
В
А
(Л V В)
Единствената разлика между двата израза е в това, че веднъж отричаме първия, а след това втория аргумент. Но това не засяга структурата на мислите, която е еднаква и в двата случая. Мисълта се движи от отричане на единия към утвърждаване на другия аргумент. Поради това схемата се нарича отрицателно-утвърдителен мо-дус на дизюнктивното умозаключение. В логиката често се среща с латинското си име МОДУС ТОЛЕНДО ПОНЕНС. Той е единственият вид на включващата дизюнкция. В таблицата за истинност той отговаря на подчертаните с непрекъсната линия втори и трети ред. В тях истинност на дизюнкцията съвпада с неистинност на един от аргументите й с истинност на другия. Може да се попита защо не следваме хода на мислите си - от утвърждаване на единия от аргументите към отричане на другия? Тази възможност се пресича от ред 1 (подчертан с пунктир, в който утвърждаването на единия аргумент съществува съвместно с утвърждаването на другия).
Знаем, че тъкмо възможността от едновременна истинност на аргумента е изключена при изключващата дизюнкция:
А , В А Л В
И И Н
Н Н
И Н
И Н И
и н

От таблицата се вижда, че двата случая на нейната истинност съответстват на противоположна стойност на аргументите - ако единият е истинен, то другият е неистинен. С това са свързани нейните умозаключителни възможности.
От типичната изключваща дизюнкция на древните:
"Ден е или нощ"
можем от отрицанието на единия от аргументите да съдим с необходимост за утвърждаването на другия:
В
(А Л В)
Това е отрицателно-утвърдителният вид на дизюнктивното умозаключение, който видяхме по-горе с включващата дизюнкция. Но с изключващата дизюнкция е свързана още една възможност за умозаключение. От утвърждаване на един от аргументите (например ден е) логично се стига до отричане на другия (следователно не е нощ). В този случай структурата на мислите е друга:
(Л Л В) . А -> В
С включваща дизюнкция е възможен само отрицателно-утвърдителният модус на дизюнктивното умозаключение
(А V В) . А -> В.
С изключваща дизюнкция са възможни два модуса - отрицателно-утвърдителен (А Л В) . А -> В и утвърдително-отрицателен (А /\ В) . А -> В



144

145






УПРАЖНЕНИЯ
Какво следва от съчетанията на мисли?

ВЪПРОСИ
ОТГОВОРИ
1 Ако е метал то е електропроводимо. То не е метал
1 Нищо не следва с необходимост Ако решим, че то не е електропроводимо ще допуснем грешката от отричане на антецедента към отричане на консеквента'
2 Ако е метал, то е електропроводимо. Не е електропроводимо
2 Следва, че не е метал по мо-дус толенс
3 Народното събрание е в София или в Пловдив То е в София
3 Следва че не е В Пловдив по утвърдително-отрицателния модус на дизюнктивното умозаключение
4 Логично ли е да твърдим, че Ако Народното събрание е в София, то е в България? To e в България, следователно е в София
4 Не е логично То би могло да е на друго място и пак да е в България Допусната е логическа грешка, наречена "от утвърждаване на консеквента към утвърждаване на антецедента
5 (AVB) B ->?
5 Нищо не следва с необходимост Утвърждаването на В е съвместимо както с утвърждаването на А, така и с нейното отричане


6 (A -> В) A -> ?
6 Следва. В по модус поненс Не се смущавайте, че схемата има променен вид Трябва да я разпознаем и в този вид Вторият фактор (А) е такъв, какъвто е антецедентът
7 (A /\ B) B -> ?

8 (A -> B; B -> ?

9 Като имате предвид условията за истинност на еквивалентността А <-> B, помислете какви възможни изводи за другата страна могат да се направят при утвърждаване или отричане на една от нейните страни. За пример вземете равностранен триъгълник <-> равноъгълен триъгълник '




146

147

УПРАЖНЕНИЯ
Какво следва от съчетанията на мисли?

ВЪПРОСИ
ОТГОВОРИ
1. Ако е метал, то е електропроводимо То не е метал.
1 Нищо не следва с необходимост. Ако решим, че то не е електропроводимо, ще допуснем грешката "от отричане на антецедента към отричане на консеквента".
2 Ако е метал, то е електропроводимо. Не е електропроводимо
2. Следва, че не е метал по модус толенс.
3. Народното събрание е в София или в Пловдив. То е в София.
3. Следва, че не е в Пловдив по утвърдително-отрицателния модус на дизюнктивното умозаключение.
4. Логично ли е да твърдим, че: Ако Народното събрание е в София, то е в България? To e в България, следователно е в София.
4. Не е логично. То би могло да е на друго място и пак да е в България. Допусната е логическа грешка, наречена "от утвърждаване на консеквента към утвърждаване на антецедента".
5. (AVB) . B -> ?
5. Нищо не следва с необходимост. Утвърждаването на В е съвместимо както с утвърждаването на А, така и с нейното отричане.


6. (A -> В) . A -> ?
б. Следва В по модус поненс. Не се смущавайте, че схемата има променен Вид. Трябва да я разпознаем и в този вид. Вторият фактор (А) е такъв, какъвто е антецедентът
7. (А Л В) . В -> ?

8. (A -> B; . B -> ?

9. Като имате предвид условията за истинност на еквива-лентността А <-> B, помислете какви възможни изводи за другата страна могат да се направят при утвърждаване или отричане на една от нейните страни. За пример вземете: "равностранен триъгълник <-> равноъгълен триъгълник."




146

147



ГЛАВА ВТОРА
НАГЛЕДНО ПРЕДСТАВЯНЕ НА СЛОЖНИ МИСЛИ

Нашите мисли нямат сетивни качества цвят, мирис, вкус. Тях не можем да ги видим, чуем или пипнем и затова нагледното им представяне изглежда невъзможно. Но те винаги са мисли за нещо. Това, за което мислим в тях, наричаме тяхно съдържание. Мислим например за Вазов и установяваме някакво негово свойство. Мисълта в случая се отнася за нещо единично. Мислим за металите и установяваме техни свойства. В този случай мисълта се отнася до цяла група неща, които наричаме класове. В такива случаи мисълта ни се отнася за нещо общо. Едва ли някой се съмнява, че единичното и общото, за които мислим, не зависи от това, че мислим за тях, нито пък дали нашите мисли за тях са истинни или неистинни. Нагледното представяне на човешките мисли е възможно чрез представяне на техните съдържания, т.е. на онова от света, за което те са мисли. Сложните мисли са връзки между прости мисли. Следователно, нагледното представяне на сложните мисли може да стане чрез връзките между съдържанията на простите мисли, от които са изградени.
В предишния раздел представихме нагледно логическата връзка отрицание с една проста диаграма, в която един правоъгълник загражда оцветените неща, за които мислим. След като вписахме в него една окръжност, която загражда само белите неща, цялата област на оцветените неща се разделя на две. Класът на белите неща остава вътре в окръжността, а всичко извън нея, но в рамките на правоъгълника, представлява класа на нещата, които не са бели.
Изобщо различните класове могат да се представят с гръцките букви а, р, у. Всички членове на даден клас са в кръга, а тези, които не принадлежат на класа, са извън него:1
1 Този начин на изразяване на отношения между класове в логиката е свързано с името на английския логик Джон Вен (1834-1923 г.) Ven John, Symbolic Logic, London, 1881, р 62-93

Когато е даден класът а, с това строго определено е отрицанието му а. а е например класът на четните числа, а е на класът на нечетните числа. Те са несъвместими, но сумата им прави класа на реалните числа, заградени от правоъгълника. В случая а е защрихо-вана, а отрицанието й е оставено назащриховано. С тази диаграма може да представим отношението на всяка проста мисъл и нейното отрицание.
Но когато се интересуваме от отношението на прости мисли като съставни на сложна мисъл, диаграмата се усложнява. Ако разгледаме взаимоотношенията на два класа а, (3, ще ги представим като пресичащи се. Това ще раздели правоъгълника, който ги обхваща, на четири части или сектори, подобласти.

Вижда се, че класът а - 1 + 2. Неговото отрицание е всичко извън от тази сума, т.е. а = 3 + 4. Класът р = 2 + 3, а отрицанието му р = 1 + 4. Всяка част или сектор (подобласт) има различно отношение на включване или изключване с кръговете. Подобластта 1 е част от а, но е вън от класа Р; подобластта 2 едновременно е част от а и част от Р; подобластта 3 е част от р, но е вън от а; подобластта 4 е вън както от а, така и от р. Сумата на всички подобласти 1 + 2 + 3 + 4 = у, т.е. представлява областта, в рамките на която разглеждаме възможните взаимоотношения на класовете а и р.
Искаме например да представим нагледно възможните сложни мисли, които може да се получат от различни съчетания на прос-



148

149

тите мисли:
А: Тези хора са щастливи В Таи хора са богати
Възможните съчетания, които търсим, ще ни насочат към възможните съчетания на класовете, за които мислим В случая те са класът на щастливите хора и класът на богатите хора в рамките на по-големия клас на всички хора, които ги обхваща. Ще заменим класовете а и b от предишната схема с А п В като компоненти на възможните сложни мисли.

На диаграмата сектор 1 представляна класът на щастливите хора, които не са богати; сектор 2 е класът на щастливите хора, които са богати; сектор 3 представлява класът на хората, които не са щастливи, но са богати; сектор 4 е най-тъжният, тъй като представлява класът на хората, които нито са щастливи, нито са богати. Както и на предишната диаграма, 1 + 2 е целият клас на щастливите хора, а З + 4 е отрицанието му. Класът на богатите хора е 2 + 3, а отрицанието му е 1 + 4. Отново 1 + 2 + 3 + 4 = целия клас на хората.
Къде в тази схема можем да видим "образа" на сложните мисли, наречени конюнкция, дизюнкция, импликация и еквивалентност?
Като се ръководим от таблиците за истинност става ясно, че сложната мисъл конюнкция е истина само когато мислим за действителността, представена от сектор 2:


Тя се състои от хората, за които е вярно, че са хем щастливи, хем богати и е представена от съвместната област или пресичането на класа на богатите и класа на щастливите хора. Съпоставянето с таблицата за истинност на конюнкцията показва, че сумата от всички незащриховани сектори, които са извън сектор 2 (те са 1 + 3 + 4) представлява сумата от съчетанията по истинност, в които тя е неистинна. Всеки един от тях, независимо кой, е достатъчен за нейната неистинност. От схемата става ясно, че сумата от условията на истинност на конюнкцията (А . В) и условията, за нейната неистинност (А . В или А . В или А . В) изчерпват всички възможни условия, представени от четирите сектора, на които е разделена схемата. Това подсказва, че сложната мисъл конюнкция може да бъде истинна или неистинна и не съществува някаква трета възможност.
Условието за истинност на включващата дизюнкция е истинността поне на един от нейните аргументи. Те са защриховани на диаграмата:

АВ
В сектор 1 (A . В) са представени щастливите хора, които не са богати. Но наличието само на щастливи хора е достатъчно за истинността на дизюнкцията между щастливите и богатите хора. Така е в сектор З (А . В), които е част от богатите хора. В сектор 2 (Л . В) пък са налице и едните, и другите. Отрицаниетона включващата дизюнкция се изобразява само от сектор 4 (А . В), където са представени хората, които нито са щастливи, нито са богати. Сумата от условията за истинност, представени от секторите 1 + 2 + 3 и условието за неистинност, представени от сектор 4, изчерпват цялата област.
Импликацията, според таблицата за истинност, е неистинна само в случаи, че антецедентът й е истинен, а консеквентът е неисти-нен. Във всички останали случаи тя е истинна.



150

151








дизюнкция и изключващата дизюнкция. Условията за истинност на включващата дизюнкция е представена чрез сумата на секторите 1 + 2 + 3. Условията за истинност на изключващата дизюнкция са сумата от секторите 1 + 3. Но това е само част от условията за истинност на включващата дизюнкция. Какво се включва при включващата дизюнкция, а се изключва при изключващата? Това е само сектор 2, т.е. възможността двата аргумента да са налице. Тази възможност (например при ден е, или нощ) се изключва при изключващата дизюнкция.

Импликацията "Ако си щастлив, то си богат" се отрича единствено в случая, когато си щастлив, но не си богат, представен от незащрихования сектор I (А . В). Отново сумата от останалите сектори на схемата 2 + 3 + 4 изобразяват условията за нейната истинност.
Както вече знаем, еквивалентността е истинна при еднаква логическа стойност (едновременна истинност или едновременна неистинност на мислите, които свързва).
Това отговаря на сумата от сектор 2 и 4:

I






Сектор 2 (Л Н) представлява хората, за които е истинно че са щастливи, а заедно с това е истинно, че са и богати. Сектор 4 (Л . В) се състои от тези, за които е истинно, че нито са едните, нито са другите.
Но какво представлява сумата от назащрихованите сектори 1 (А . В) и З (Л . В)? Те са отрицание на еквивалентността. Но ако погледнем таблицата на изключващата дизюнкция, ще видим че те отговарят на условията за нейната истинност. Излиза, че условията за неистинност на еквивалентността са условия за истинност на изключващата дизюнкция. Ако класът на щастливите и класът на богатите хора взаимно се изключваха, това би било вярно при условие, че щастливите не са богати (сектор 1) или нещастните са богати (сектор 3).
Схемата освен това онагледява разликата между включващата

152

153






УПРАЖНЕНИЯ
1 Начертаите диаграмата, определете нейните сектори и защриховайте условията за истинност (или неистинност) на сложните мисли, конюнкция, дизюнкция, имплика-ция, еквивалентност Ползвайте в началото таблиците за истинност След това вече те няма да ви трябват и ще ги изоставите по същия начин, по които детето оставя сметалото, след като вече се е научило да смята наум
2 Чрез сравнение се опитайте да определите на коя логическа константа са изразени условията за истинност в приведените схеми Кои са взаимноизключващи се двойки от тях?
(Защриховани са секторите, които се изключват)






Отговори:
1 Импликация
2 Конюнкция
3 Еквивалентност
4 Включваща дизюнкция
5 Изключваща дизюнкция
6 Отрицание на дизюнкцията
7 Отрицание на импликацията
8 Отрицание на конюнкцията
Взаимно изключващи се двойки са 1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6

154

155

ГЛАВА ТРЕТА
ПРОВЕРКИ НА СИМВОЛНО-ЛОГИЧЕСКИ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 1. Таблични проверки. Аналитични, синтетични и противоречиви изрази.
Видяхме вече, че от някои съчетания от мисли следват с необходимост изводи, а от други съчетания не следва нищо. Следователно съчетанията от мисли са с различно качество. За нас е важно да знаем кога думата "следователно" е употребена правилно, т.е. кога мисълта, която претендира да е следствие, наистина произтича от мислите, които се считат за нейни предпоставки. Щом съчетанията от мисли са от различно качество, те трябва да бъдат разпределени на различни видове чрез подлагането им на качествен контрол. Той може да се направи по различни начини. Първият от тях е чрез ТАБЛИЦИ ЗА ИСТИННОСТ, които вече използвахме за определяне на свойствата на основните логически константи. Сега трябва да ги приложим към по-сложни изрази, изградени с тяхна помощ.
Да вземем например отрицателно-утвърдителния модус на дизюнктивното умозаключение
В
(А V В) . А
Главната константа в него е знакът за импликация. Нейният антецедент представлява конюнкцията (А V В) . А , а консеквентът й е В. За да определим стойността на антецедента, трябва преди това да определим стойността на факторите му (А V В) и А. Тук няма да даваме по условие някакви предварително фиксирани стойности на променливите, а ще разгледаме всички възможни съчетания по истинност между тях. Променливите са две (А, В) и стойностите на всяка от тях са две (И, Н). Знаем вече, че възможните съчетания по истинност се получават като повдигнем числото на стойностите на степен, равна на броя на променливите. В случая имаме 22 = 4 съчетания по истинност. Редът, в който разглеждаме сим-

волния израз на сложната мисъл е строго определен. Най-напред го разглобяваме на главните му съставни части. По този начин стигаме до неговия антецедент и консеквент. Консеквентът е израз на проста мисъл, която няма да разлагаме. По-нататъшното разлагане ще засегне само антецедента, който е сложно нещо. Разделяме го на неговите фактори. В колонки под частите, на които е разделено цялото, записваме стойностите по истинност. След това по точно обратния път започваме да сглобяваме цялото от частите, на които го разчленихме. Ръководим се единствено от стойностите по истинност на съставките и на логическите връзки между тях. Крайният резултат на това движение, което се извършва стъпка по стъпка, без никакво прескачане, е определяне стойностите по истинност под главната константа:

А
В (А
V В)

А
->
в
И
И
И
Я
II
И
и
И
Н
И
Я
Н
И
н
Н
И
И
И
И
И
и
Н
н
II
II
И
и
н


1

2


5
Най-вляво под А и В са възможните съчетания по истинност на двете променливи. Колонка 1 представлява стойностите на дизюн-кцията като резултат от тях. С това сме определили стойността на първия фактор на конюнкцията-антецедент. Вторият й фактор (А) е отрицание на А и следователно има точно противоположни стойности в колонка 2. От стойностите на факторите определяме стойността на конюнкцията в колонка 3. Естествено се ръководим от условията за нейната истинност, които вече познаваме. Ако сме ги забравили, може да запишем настрана таблицата за истинност на конюнкцията, за да е пред очите ни. С определяне на стойността на конюнкцията сме определили стойността на антецедента на израза. Преписваме стойностите на консеквента В. Те са същите като тези, които са в началото под В. Може да номерираме колонката, както това е направено по-горе. Накрая от стойностите на антецедента, представени в колонка 3 и стойностите на консеквента, представени в колонка 4, определяме стойностите на импликацията, ко-



156

157






т

ято е главна константа на израза. Те са дадени в колонка 5 и представляват стойността на цялостния израз.
Какво получихме? Оказа се, че изразът е истинен когато А и В са истинни, когато първото е истинно, а второто е неистинно: когато първото е неистинно, а второто е истинно; накрая, когато и двете са неистинни. Ние така сме свързали две прости мисли в сложна мисъл, че полученото съчетание е винаги истинно. Такива съчетания от мисли се наричат АНАЛИТИЧНИ, а символните формули, които ги изразяват се наричат АНАЛИТИЧНИ ПОЛОЖЕНИЯ.


А
В (А
-> В)

В
->
А
И
И
И
И
И
И
И
И
Н
н
Н
н
И
И
Н
И
И
И
И
н
н
н
н
И
н
н
И
н


1

2

1



Аналитичните положения са истинни при всички съчетания по истинност на променливите, които ги изграждат. Те са необходимо истинни и не търпят никакви изключения.

5



Ако главната константа на проверявания израз е например ек-вивалентността, ще се ръководим от условията за нейната истинност, като спазваме същия ред на разглеждане.

A
в л
->
в Л
А
V
В
И
и
и
и
н
и
и
И
н
н
и
н
н
н
Н
и
и
и
и
и
и
н
н
и
и
и
и
н


1

2

3





4




5




Сега крайният резултат не представлява само стойности за истинност. Изразът е истинен в първия, втория и четвъртия случай, но е неистинен в третия от възможните случаи. Подчертаваме този случай, обръщаме внимание на стойностите на променливите в него. Променливата А има стойност неистина, а Б има стойност истина. Изразът се отрича от съчетанието: не е вярно Л, т.е. не е вярно, че Народното събрание е в София, но е вярно В, т.е. вярно е, че то е в България. Какво невъзможно има в това съчетание? Нали някога Народното събрание е било във Велико Търново?
Такива изрази в логиката се наричат СИНТЕТИЧНИ ПОЛОЖЕНИЯ
Синтетичните положения ся истинни при някои съчетания по истинност на променливите, които ги изграждат. Те са случайно истинни и имат изключения, т.е. има случаи, които те са неистинни.



В задача .№ 4 от предишния раздел определяме като нелогично разсъждението: "Ако Народното събрание е в София, то е в България. То е в България; Следователно е в София." Тъй като всеки знае, че то наистина е в София, окачествяването му като нелогично може на някого да изглежда странно. За да се убедим, че в него липсва логическа връзка, ще го подложим на качествен контрол чрез таблицата за истинност.
формалният му запис и табличната му проверка са:
158

Ако изразът е с три променливи, съчетанията по истинност са 23 = 8. Те представляват двете нови възможности (И, Я) за четирите съчетания от две променливи:1 С третата променлива възможностите се удвояват.
1 Hacking lan. A Consise Introduction to Logic, New York, 1972, р 118
159

ято е главна константа на израза. Те са дадени в колонка 5 и представляват стойността на цялостния израз.
Какво получихме? Оказа се, че изразът е истинен когато А н В са истинни, когато първото е истинно, а второто е неистинно: когато първото е неистинно, а второто е истинно; накрая, когато и двете са неистинни. Ние така сме свързали две прости мисли в сложна мисъл, че полученото съчетание е винаги истинно. Такива съчетания от мисли се наричат АНАЛИТИЧНИ, а символните формули, които ги изразяват се наричат АНАЛИТИЧНИ ПОЛОЖЕНИЯ.
Аналитичните положения са истинни при всички съчетания по истинност на променливите, които ги изграждат. Те са необходимо истинни и не търпят никакви изключения.


А
В (А
-> В)

в
->
А
И
И
и
И
и
И
И
И
Н
н
н
н
и
И
Н
и
и
и
и
н
Н
Н
н
и
н
н
и
н


1

2





3









4



Ако главната константа на проверявания израз е например ек-вивалентността, ще се ръководим от условията за нейната истинност, като спазваме същия ред на разглеждане.

А
В А
->
В <->
А
V
В
И
И
и
и
Н
И
и
И
Н
//
и
Н
Н
н
Н
И
и
и
и
и
и
Н
Н
и
и
и
и
н


1

2

3





4

5

Сега крайният резултат не представлява само стойности за истинност. Изразът е истинен в първия, втория и четвъртия случай, но е неистинен в третия от възможните случаи. Подчертаваме този случай, обръщаме внимание на стойностите на променливите в него. Променливата А има стойност неистина, а В има стойност истина. Изразът се отрича от съчетанието: не е вярно А, т.е. не е вярно, че Народното събрание е в София, но е вярно В, т.е. вярно е, че то е в България. Какво невъзможно има в това съчетание? Нали някога Народното събрание е било във Велико Търново?
Такива изрази в логиката се наричат СИНТЕТИЧНИ ПОЛОЖЕНИЯ
Синтетичните положения са истинни при някои съчетания по истинност на променливите, които ги изграждат. Те са случайно истинни и имат изключения, т.е. има случаи, които те са неистинни.



В задача № 4 от предишния раздел определяме като нелогично разсъждението: "Ако Народното събрание е в София, то е в България. То е в България; Следователно е в София." Тъй като всеки знае, че то наистина е в София, окачествяването му като нелогично може на някого да изглежда странно. За да се убедим, че в него липсва логическа връзка, ще го подложим на качествен контрол чрез таблицата за истинност.
формалният му запис и табличната му проверка са:

Ако изразът е с три променливи, съчетанията по истинност са 23 = 8. Те представляват двете нови възможности (И, Н) за четирите съчетания от две променливи:1 С третата променлива възможностите се удвояват.
1 Hacking lan. Л Consise Introduction to Logic, New York, 1972, р 118.



158

159