Кое е например отрицанието на твърдението: "Ако си упорит и учиш, то ще сполучиш". Заместваме "упорит си" с Л, "учиш" с В и "ще сполучиш" с С: Става дума за импликация, която има за анте-цедент конюнкцията на Л и Д, а за консеквент С.1
Резултатът от табличната проверка показва, че изразът пак е синтетичен, тъй като е верен за някои, но не за всички съчетания по истинност. Неговото отрицание е втората редица от стойности,
в която А е истинно и В е истинно, но С е неистинно. Ако го конкретизираме, това е случаят когато е вярно, че си упорит и се учиш, но не си сполучил.
Накрая, съществуват изрази, които са винаги неистинни:
" 10 е четно число" и " 10 не е четно число" ще бъде изразено като винаги неистинна конюнкция;
(А I А)
И Н Н
Н Н И
1 2
Такива изрази се наричат ПРОТИВОРЕЧИВИ ПОЛОЖЕНИЯ.
Противоречивите положения са неистинни при всички възможни съчетания по истинност на променливите, koumo ги изграЖ-дат. Те са необходимо неистинни полоЖения.
Не е трудно да се досетим, че ако отречем едно противоречиво положение, ще достигнем до аналитично, винаги истинно положение. Ако заградим в скоби no-горе разглежданата конюнкция и с тилда пред нея поставим знака за отрицание, табличната му проверка ще изглежда така:
От втория ред надолу може смело да поставяме под главната константа стойности за истина, без дори да обръщаме внимание каква стойност има консек-вентът, тъй като е достатъчно, че антецедентът е неистинен Всяка импликация с неистинен антецедент е истина
Главната константа сега е отрицанието, и стойностите под него (колонка 4) са отрицание на стойностите на конюнкцията (колонка 3). Положението, което проверихме, е аналитично и както ще видим след малко, се нарича логически закон за непротиворе-
160
161
чието. По същия начин, ако отречем аналитичните положения, които преди малко проверихме таблично, ще стигнем до противоречиви положения - четирите истини, които намерихме под главните им константи, ще бъдат заменени с четири неистини. Отрицанието на едно синтетично положение ще ни доведе пак до синтетично положение - истините под главната му константа ще се заменят с неистини, а неистините ще се заменят с истини. Например:
"Не е вярно, че които е упорит и се учи, ще сполучи"
ще е истинно в единствения случай, в който то се оказа неистинно в направената табличната проверка. Това което проверихме вече има само една разлика в сравнение със сегашния случай, но тази единствена разлика е огромна - той не се предшества от "Не е вярно, че..." Там разсъждаваме за нещо, а тук разсъждаваме за отрицанието на същото това нещо.
Отрицанието на аналитичните положения води до противоречиви положения и обратно - отрицанието на противоречивите положения води до аналитични положения. Отрицанието на синтетичните положения води пак до синтетични положения.
щом А е истинно, то А трябва да е неистинно. В началото допускането на противното ни доведе до неистинност за консеквента В, а сега стигаме до неистинност и на А. Но щом и двете са неистинни, то ще бъде неистинна и тяхната дизюнкция. Тук се натъкваме на противоречието да твърдим, че дизюнкцията (А V Б) е истинна (като следствие от това, че е фактор на истинна конюнкция) и заедно с това е неистинна (като следствие от установяване, че и двата й аргумента са неистинни) Сега мисълта ни ще тръгне обратно и по пътя й Ни дебнат нови противоречия. Ако дизюнкцията е неистинна, то и цялата конюнкция, в която тя е фактор, ще е неистинна. Но тя е антецедент на израза, за който в началото установихме, че трябва да е истинен. С това стигаме до второ противоречие. Остава още едно: щом пък антецедентът е неистинен, то импликацията е истинна. Допуснахме, че импликацията е неистинна, а по необходимост стигнахме до тъкмо противоположното твърдение, че тя е истинна. Следователно, трябва да се върнем към началото и да отхвърлим самата възможност изразът да е неистинен, тъй като то ни доведе до поредица от противоречия.
Когато проверяваме чрез допускане на противното израз, главната константа на който е еквивалентността, ще се ръководим естествено от условията за нейната истинност. Имаме да проверяваме например израза
§ 2. Проверки чрез допускане на противното.
Качественият контрол върху видовете сложни мисли може да се осъществи и чрез ДОПУСКАНЕ НА ПРОТИВНОТО. Нека подложим на ново изпитание същия израз, с който започнахме:
(A V B) . A -> В
Какво означава да допуснем противното на този израз? Това означава да допуснем възможността от отрицанието му. Но той има ,за главна константа импликацията и следователно трябва да я приемем за неистинна. И така, ако допуснем противното на израза означава да приемем, че импликацията е неистинна. Това е първият и последният случай, в който ще използваме думата ,,допускам". Всичко по-нататък ще следва. Знаем, че импликацията е неистинна само в случай, че антецедентът й е истинен, а консеквентът е неистинен. Следователно (А V В) . А трябва да е истинно, а Л да е неистинно. Но антецедентът е конюнкция и от нейната истинност, следва истинност на нейните фактори, т.е. (А V В) трябва да е истинна, а също така А (отрицанието на А) трябва да е истинно. Но
A -> В <-> А V В,
който ще видим по-късно като един от законите за разлагане на импликацията. Еквивалентността е истинна при еднаква логическа стойност на нейните страни - едновременна истинност или неистинност. Да допуснем противното на израза значи да приемем, че страните му имат различна логическа стойност - едната е истинна, а другата е неистинна. Без значение е коя от тях ще приемем за истинна и коя за неистинна. Нека най-напред приемем лявата страна за неистинна, а дясната за истинна.
162
163
Разсъжденията, които ще направим, са следните: от допускането, че импликацията А -> В е неистинна, следва единствено истинност на нейния антецедент и неистинност на нейния консеквент. Тези стойности записваме над променливите А и В. След това ги пренасяме в дясната страна като се съобразяваме със знаците за отрицание. Първият аргумент на дизюнкцията е отрицанието на А, А, което ще е неистинно, щом А като антецедент на импликацията е истинно. Вторият аргумент (В) запазва своята стойност, която има като консеквент на импликацията. Той е неистинен. Но тогава и двата аргумента на дизюнкцията са неистинни. Противоречието, до което достигаме, е истинност на Л V В (по допускане) и неистинност на същия израз (след заместване със съответни стойности, които сме длъжни да приемем като неизбежни следствия). Но тогава и двете страни имат еднаква стойност (и двете са неистинни) и следва да приемем тяхната еквивалентност.
Ако приемем лявата страна за истина, а дясната за неистина, ще стигнем до съвсем същия резултат:
Н В
и
А
н н
А V В Н
И
Единствената разлика е в това, че ще започнем най-напред с дясната страна, тъй като има един единствен случай на неистинност на дизюнкцията. От нейната неистинност следва неистинност на аргументите й. Пренасяме отново стойностите им вляво като не забравяме, че антецедентът А е отрицание на А и следователно има стойност истина. Стойността на В остава непроменена. Но тогава А -> В ще е неистинно. Противоречието, до което стигаме, е едновременна истинност и неистинност на импликацията. Отново трябва да отхвърлим условно допуснатото.
С отпадането на тази възможност остава единствено да се приеме, че проверяваното положение е необходимо истинно.
Същото положение може да бъде проверено посредством ИЗПОЛЗВАНЕ НА ГРАФИКИ. Така ще имаме нагледен образ на условията за истинност на сложни положения, представени като сума от сектори на една схема:
Ние знаем как изглежда графичният образ на условията за истинност на сложните мисли, изградени посредством конюнкция, дизюнкция, импликация или еквивалентност. В случая
В
(А М В) . А
става дума за импликация и затова се отнасяме към сумата от:
сектор 2 (А . В), изразяващ в графиката истинност на антеце-дента и истинност на консеквента;
сектор З (А . В), изразяващ неистинност на антецедента и истинност на консеквента;
сектор 4 (А . В), представляващ случая, при който антецедентът и консеквентът са неистинни;
Изобщо истинната импликация (А -> В) може да бъде приравнена на сумата от условията на нейната истинност:
А
В V А . В V А . В
Този израз, който представлява дизюнкция от конюнкции, може да замени импликацията, тъй като е пълната сума от условията за нейната истинност. Когато едно сложно положение е приравнено на такава дизюнкция, се казва че е намерена неговата НОРМАЛНА ДИЗЮНКТИВНА ФОРМА.
Нормална дизюнктивна форма на какъвто и да е израз представлява представянето му като дизюнкция от конюнкции, ка-то при това чертата на отрицанието не се разпростира върху сложно положение, а стои само върху отделни променливи, с ко-ито изразяваме прости мисли.
164
165
В логиката знакът за дизюнкция играе такава роля, каквато в алгебрата играе знакът за събиране. Дизюнкцията от компонентите, с която заменихме импликацията, има своя графичен образ в сумата на секторите 2 + 3 + 4 от диаграмата. След това остава да заменим променливата А с израза, който е антецедент на проверяваното положение. В този случай той е (А V 5) . А. Направим ли това, ще получим:
[(А V В) . А] . В V (А V В) . А . В V (А V В) . А . В
Знаем, че условията за истинност на включващата дизюнкция са представени от сумата на секторите 1 + 2 + 3."А" се изгражда от секторите 1 + 2, а 3 + 4 са неговото отрицание; "В" пък е равно на секторите 2 + 3 и има за отрицание 1 + 4. Сега вече можем да заменим всички съставки на горното положение със секторите, които им съответстват. Навсякъде ще заменим знака за дизюнкция с аритметичния знак за събиране. Тогава ще получим:
Така графичният образ на проверяваната сложна мисъл представлява пълната сума на всички сектори. Той изчерпва всички възможности, които нагледно са представени чрез различните сектори на схемата. Поради това проверяваният израз е необходимо истинно положение.
Близко до ума е, че ако проверяваме синтетично положение, някои от секторите ще останат несъбрани. Това ще бъдат секторите, които отговарят на съчетанията по истинност, в които синтетичното положение е неистинно. Отрицанието му пък ще е равно на сумата от несъбраните сектори, което ще рече, че то е истинно тогава, когато проверяваното положение е неистинно.
Какво ще получим, ако се опитаме да потърсим в графиките мястото на противоречивите положения? Знаем, че те са отрицание на необходимо истинните положения. В следващия урок ще стане дума, че А V А (А или не А) е необходимо истинно положение, което в логиката носи името ЗАКОН ЗА ИЗКЛЮЧЕНОТО ТРЕТО. Неговата графична проверка
Знакът за конюнкция подсказва, че трябва да се търси общата, съвпадащата област. Нейната истинност означава наличност на факторите й. Общият фактор от първото събираемо е само сектор 3, от второто и третото събираемо е пак 3, но под отрицание (3). Като ги съберем:
А
3 + 3 . (2 + 3) + 3 . (2 + 3)
Но 3 = 1 + 2 + 4, а 2 + 3=1 + 4 от схемата.
Тогава след заместване:
З + (1 + 2 + 4). (2 + 3) + (1 + 2 + 4). (1 + 4)
Общият фактор от второто събираемо е сектор 2, а от третото събираемо са Секторите 1 и 4: Като ги прибавим към 3, ще получим:
3+2+1+4
Ако искаме, можем да ги подредим в
1+2+3+4
ще го разкрие като сумата на двата сектора 1 + 2 на схемата, т.е. А V А = 1 + 2 . Но да предположим, че някой отрича това положение, тъй като смята, че има нещо трето между тях. Тогава ще имаме
А V А = 1 + 2 = 0
т.е. не съществува някаква_ трета действителност, на която да отговаря отрицанието на А V А. По същия начин отрицанието на всяко необходимо истинно положение, изградено от две прости мисли, ще ни доведе до същия резултат, понеже отрицанието на изчерпателната сума от всички сектори води до нищо, т.е.
1+2+3+4 = О
166
167
С други думи, на логическите противоречия не отговаря никак ва действителност
Качественият контрол върху мисли ни води до разделянето им на:
1. Първокачествени мисли, изразявани в аналитични положения. Табличната проверка на символните им означения неизменно ни води до истинност, независимо от различните съчетания по истинност на променливите, които ги изграждат. ДопусКане-то на възможността да са неистинни ни води до противоречия. Нагледното им представяне ги разкрива като сума от всичКи нейни сектори.
2. Второкачествени мисли, изразявани в синтетични положе-ния. Табличната проверКа на символните им изрази показва, че те понякога са истинни, а понякога неистинни. ДопусКането на възможността да са неистинни не води до противоречие. Графичното им представяне ги разкрива Като сума само на няКои сектори от диаграмата.
3. Мисли, подлежащи на бракуване, изразявани от противоречиви положения. Табличната им проверКа води винаги до неистинност. Те са израз на САМАТА НЕИСТИННОСТ и затова отрицанието им води до необходимо истинни положения. За тях няма място в графичното представяне, те не могат да бъдат изобразени в него, тъй Като не отговарят на никаква действителност. Затова пъК тяхното отрицание ни отправя Към вся-Каква действителност.
УПРАЖНЕНИЯ
ЗАДАЧИ
РЕШЕНИЯ
1 Проверете чрез таблицата за истинност положението (А -> В) B -> A Символичен израз на кои вид мисли е то?
_ 1 _ 1 А В (А -> В) В -> А
И И И НН И Н И Н Н НИ И Н НИ И НН И И Н Н И ИИ И И 1 2
3 4
5 Изразът е аналитичен т е тои е необходимо истинен
2 Проверете чрез таблицата за истинност положението A -> B -> AVB Символичен израз на кои вид е то?
2 А В (А -> В) <-> А V В
И И И И Н И И И Н Н И Н Н Н НИ И И И И И Н Н И И И И Н 2 3
1 4
5 Изразът е аналитичен т е е необходимо истинен
168
169
3 Проверете таблично изразяването на преносимостта на импликацията (A -> B; (B -> C)->(A -> C)
1 З А, В, С(А -> В) (В -> С) -> (А -> С)
И И И И И И И И И И Н И Н Н И Н И Н И Н Н И И И И Н Н Н Н И И Н Н И И И И И И И Н И Н И Н Н И И Н Н И И И И И И Н Н Н И И И И И 1 2
3 4
5 Изразът е аналитичен, те тои е необходимо истинен
4 Проверете чрез таблицата израза (А -> В) В -> А Към кой вид означения на сложни мисли ще го отнесете'?
1 4 А , В (А -> В) В -> А
И И И И И И И И Н Н Н Н И И НИ И И И Н Н Н Н И Н Н И Н
1 2
3 4
5 Проверяваното положение е израз на синтетична мисъл
5 Ако допуснете противното на положението AVA, какво следва от това?
5 Положението е дизюнкция Дизюнкцията е неистинна при неистинност на аргументите и Това в случая означава едновременно неистинност на А и А, което е невъзможно
6 Проверете таблично
(А -> В) A -> B
7 (A V B) В -> А
8 (А В) В -> А
9 (A V B) A -> B
10 Проследете внимателно разсъжденията при доказване чрез допускане на противното
11 Защо твърдим, че на логическото противоречие не отговаря никаква действителност?
170
171
ГЛАВА ЧЕТВЪРТА
ЛОГИЧЕСКИ ЗАКОНИ
§ 1. Основни характеристики на закона на тъждеството, неп-ротиворечието, изключеното трето и за достатъчното основание.
Аналитичните, необходимо истинните положения са много. Някои от тях, които се смятат за по-основни, са завоювали правото да се наричат ЛОГИЧЕСКИ ЗАКОНИ.
Например мислите за какъв да е обект, да речем за И. Вазов. Той е бил нещо сложно и изменящо се във времето. Проследяването на главните моменти на житейския му път и на творчеството му всъщност представлява изказване на редица прости мисли за него. Ние може да свържем простата мисъл "Вазов е поет" с простата мисъл "Вазов е писател" в конюнкцията "Вазов е поет и писател". •Простите мисли и съчетанията им се отнасят за един и същ обект. Те ще бъдат истинни, ако съответстват на своя обект. Те няма да съответстват на обекта си, ако припишем на Вазов характеристики, които не му принадлежат. В такъв случай всъщност сме престанали да се отнасяме към същия обект. Тази трайност, устойчивост на мислите, е свързана с трайността, устойчивостта на обекта на мисълта. И сред хъшовете във Влашко и като съдия в Берковица, Вазов е все Вазов. Тази проста, но основна зависимост се нарича ЗАКОН ЗА ТЪЖДЕСТВОТО и се изразява с:
"A е A"
Със символни средства се записва като еквивалентност: A <-> A
Устойчивостта на нещата, за които мислим, е в основата на тяхната реална разграниченост. на това, че щом нещото Е, то е нещо различно и несъвместимо с останалите неща. Наистина много свойства на нещата съществуват съвместно. Масата например е правоъгълна, бяла, дървена. Тук формата, цветът, материалът, от кой-
то е направена, съществуват заедно. Можем да изразим това с една многофакторна конюнкция. Но ако се интересуваме от формата, масата не може да бъде правоъгълна и заедно с това да е кръгла. Цветът й не може да е бял и заедно с това да е жълт, син, зелен и изобщо небял. Мислите за такива свойства в рамките на цветовете, на формите, могат да се свързват само с дизюнкция, и тя е изключваща дизюнкция. В противен случай едновременно ще утвърждаваме и заедно с това ще отричаме едно и също нещо, т.е. ще стигнем до противоречие. Масата е правоъгълна И кръгла, е противоречие. Графичните проверки на символните изрази на сложни мисли ни показаха, че на противоречието не отговаря никаква действителност:
А
А е А, тъй като е нещо устойчиво, едно и също, независимо че се изменя. Но поради това то е несъвместимо с отрицанието си A.
На конюнкцията А . А не отговаря нищо от действителността. Нейното отрицание изразяваме с "A не е не A". Това е ЗАКОНЪТ ЗА НЕПРОТИВОРЕЧИЕТО. Този закон може да запишем със символни средства като поставим отрицание върху конюнкцията-противоречие:
А . А или, което е все същото ~ (А . А)
Дизюнкцията на А с отрицанието му A , т.е. A или не A обхваща двата сектора на схемата. Тази зависимост се нарича ЗАКОН ЗА ИЗКЛЮЧЕНОТО ТРЕТО А V А. Масата е бяла или не е бяла. Отрицанието "не е бяла" обхваща всички останали цветове: тя е жълта, зелена, синя. Белият цвят е несъвместим с всеки от тях, а всички те, взети заедно, изчерпват отрицанието му.
Отрицанието на A ни отпраща към несъвместимата с него действителност, която е вън от А Ако отречем отрицанието, ще трябва да се върнем отново към А, т.е.
А
А
172
173
Това представлява ЗАКОН ЗА ДВОЙНОТО ОТРИЦАНИЕ. Той
прилича на известното минус по минус е равно на плюс. Ако върху променливата или сложното съчетание от променливи има двойно отрицание, то можем спокойно да се освободим от него.
Ние вече използвахме едно важно логическо положение, преди да сме го формулирали. За да докажем необходимата истинност на сложни мисли, допуснахме, че те могат да са неистинни. След това последователно разгледахме следствията, които произтичат от допускането. Те ни доведоха с необходимост до тъкмо противоположното твърдение на това, което сме допуснали. Логическото положение, което сме използвали се нарича ЗАКОН ЗА СВЕЖДАНЕТО ДО НЕЛЕПОСТ, ДО АБСУРД (REDUCTIO AD AB-
SURDUM), или
А
А
- ако една мисъл води до своето отрицание, тя е еквивалентна на своето отрицание.
Но защо прилагаме по-общи положения към отделни случаи? Защото всяко правило е по-общо от приложенията си. Онова, което важи изобщо, важи и в частните случаи, защото в самата действителност общото (свойствата, отношенията) съществуват като характеристики на нещата. Няма по-общо положение от "валидното изобщо е валидно в частност". Дори и да допуснем съществуването на по-обща истина и се опитаме да изведем от нея истината "валидното изобщо е валидно в частност", това би станало пак чрез използване на същото положение. Тогава бихме се завъртели в един логически кръг, който ще прилича на извеждане на нещо от... себе си. Тази основна зависимост се нарича ЗАКОН ЗА ДОСТАТЪЧНОТО ОСНОВАНИЕ. Тя няма символен израз. Какъвто и да е той, ще се наложи с родния ни език да изразим защо символният му вид се прилага към частните случаи. Законът за достатъчното основание е пределно обща истина, която има най-различни проявления. Тя е гръбнакът на всеки умозаключителен процес във всяка област на знанието. При решаване на елементарна геометрическа задача само привидно стоим единствено в областта на геометрическото знание. Ако се запитаме защо прилагаме формулата за лице на триъгълник към отделните триъгълници, единственият смислен отговор е в това, че тази формула изразява общо знание за геометрически зависимости и затова важи за отделните случаи. Прилагането й представлява съобразяване с логическия закон. Това е казвал още Хегел с твърдението си, че "всяка наука е приложна логика". Всяко знание е система от мисли, разсъждения, а науката
която разкрива основните принципи на всяко разсъждение, е логиката.
Основните логически закони, които разгледахме, са познати още от древността. За бащата на логиката Аристотел законът за противоречието е "най-здравият от всички принципи на мисленето". Те присъстват във всяка негова проява.
Законът за тъждеството, за непротиворечието, за изключено-то трето и за достатъчното основание са основни логически закони. Те изразяват различни страни на определеността на нещата, за които мислим.
§ 2. Символно-логични закони с две и повече променливи. Основни трансформации и деривации.
В съвременната логика са известни много положения, които носят названието логически закони. Те са изградени върху основните закони и, както ще видим, са сводими към тях. Те са с повече от една променлива. Тук ще посочим само една част от тях. Ще ги номерираме, за да можем лесно да определим кои сме използвали във всеки конкретен случай.
1. (А -> В) . А -> В Модус поненс. Познат ни е като утвърдителен модус на условното умозаключение. Ако е предпрставена една импликация и се утвърждава антецедентът й, то следва утвърждаването на нейния консеквент.
2. (А -> В) В -> А Модус толенс. Познат ни е като отрицатален модус на условното умозаключение. Ако е предпоста-вена една импликация и се отрича нейния консеквент, следва отричане на антецедента й.
3. (А -> В) . (В -> С) -> (A -> С) Преносимост (= транзи-тивност) на импликацията. Ако А е някакво условие за В (е по-голямо от В; е по-малко от В и т.н.), а В е в същото отношение към С, то без непосредствен опит можем да установим, че А е в същото отношение към С.
4. А . В -> А Това е просто следствие от таблицата за истинност на конюнкцията. Щом сме предпоставили нейната истинност, следва всеки от факторите й. А . В -> В важи толкова, колкото и горното положение
1 Гегель, Энциклопедия философских наук, часть первая, Логика, М . Л , 1930, с 136
174
175
5. (А V В) . А -> В Модус толендо поненс. Това е отрицателният модус на разделителното умозаключение. Щом е предпоста-вена една включваща дизюнкция и се отрича един от нейните аргументи, то от това следва утвърждаването на другия й аргумент.
В разгледаните по-горе закони главният знак е импликация. Но съществуват важни зависимости, в които главният знак е еквива-лентност. От определението за истинност на еквивалентността знаем, че тя е истинна при еднаква логическа стойност на мислите, които свързва. Затова логически еквивалентните изрази могат да бъдат заменени един с друг там, където се срещат:
6. А V В о А . В Отрицанието на една дизюнкция е равносилно на конюнкция от отрицанията на нейните аргументи. Това лесно може да бъде проверено чрез графичното представяне на условията за истинност на включващата дизюнкция. Там условията за истинност са сумата от секторите 1 + 2 + 3, а отрицанието им е сектор 4. Този закон обикновено се свързва с името на шотландския логик Де Морган (1806-1871 г.) и се нарича закон за разчупване линията на отрицанието. Навсякъде, където срещнем отрицание на дизюнкцията, може да го приравним на конюнкция от отрицание на нейните аргументи.
7. А . В о А V В Втори закон на същия логик. Табличната проверка на израза би убедила всеки в неговата необходима истинност. Прилагането му дава възможност всяко отрицание на конюнкция да бъде представено като дизюнкция на отрицанията на нейните фактори. Например "Не е вярно, че днес е слънчево и е топло" е равносилна поне на едно от двете: "днес не е слънчево" или "днес не е топло".
8. А -> В <-> А V В Закон за разлагане на импликацията. Тя е приравнена на включваща дизюнкция от отрицанието на нейния антецедент или утвърждаването на нейния консеквент. Но то е просто следствие от таблицата за истинност на импликацията. Ако се върнем към нея, тогава ще видим, че тя е истинна при неистинност на антецедента или при истинност на консеквента й. Този закон ни дава възможност всяка импликация да бъде изразявана като равностойна дизюнкция.
9. А -> В <-> А . В Импликацията отново се разлага, но този път е приравнена на отрицанието на конюнкцията на нейния антецедент с отрицанието на консеквента й. Това в таблицата за нейната истинност е единственият случаи, в който тя е неистинна. Близко до ума е, че след като в (8) и (9) импликацията веднъж е
сведена до А V В, а втори път до А . В , то и те трябва да са еквивалентни помежду си:
А . В о А V В
Това лесно може да бъде показано, ако приложим към левия член на еквивалентността закона (7) и разчупим линията на отрицанието. Ще получим:
А V Б <-> А V В След това ще приложим закона за двойното отрицание:
А о А
и ще се освободим от двете отрицания върху В. Тогава ще остане: А V В <-> А V В
Това, до което достигнахме е законът за тъждеството. Той ни осведомява, че всяко нещо е еквивалентно на себе си. Но еквивалентността, от която тръгнахме:
А . Я
А V В
не е логически закон, а е следствие на логически закони. Веднъж импликацията в (9) е сведена до лявата страна на еквивалентността, втори път в (8) е сведена до дясната й страна и понеже равното на равното е равно, те също се намират в същото отношение.
10. А -> В <-> В -> А Закон за контрапозиция. Импликацията няма свойството обратимост. Поради това от "Ако нещо е човек, то е смъртно същество", може да следва само че "Ако съществото не е смъртно, то не е човек".
11. (А <-> В) <-> (А -> В) . (В -> А) Закон за разлагане на еквивалентността. Тя е равна на конюнкцията от взаимните им-пликации на нейните страни. Това видяхме като следствие от нейната таблица за истинност. Достатъчно е да заменим А с "равностранен триъгълник", а В с "равноъгълен триъгълник", за да се убедим, че еквивалентността между тях е равносилна на взаимната им импликация.
176
177
12. (А <-> В) <-> (А . В) V (А . В) Това е друг закон за разлагане на еквивалентността. Съответствието му с таблицата за истинност е съвсем очевидно. Ако използваме по-горе направената конкретизация, ще приравним еквивалентността между равностранен и равноъгълен триъгълник до дизюнкцията: триъгълникът е равностранен и е равноъгълен, или е нито първото, нито второто. Може да прибавим и някои положения, които имат непосредствен аналог в алгебрата.
13. А . В <-> В . А Разместителност на членовете на конюн-кцията. Тя е в сила също както е в сила, че 5 х З = З х 5 в алгебрата.
14. А V В <-> В V А. Същата разместителност и при дизюнкцията. Съвсем аналогично в алгебрата 5 + 3 = 3 + 5.
Ще прибавим още само един закон, който ще ни трябва:
15. А . (В V С) о А . В V А . С Разпределителен закон, аналогичен на познатото на всеки от алгебрата умозаключение на множител по сума, която е заключена в скоби. Не е необходимо да привеждаме други положения, които общо се считат за логически закони. По-важно е да видим как те се прилагат. Прилагането им може да покаже, че дори някои от изброените вече закони могат да бъдат сведени към други. Ако например вземем положение (2):
-> A
(А -> B)
и приложим към него положение (10):
А -> В <-> 5 -> А,
можем да заменим импликацията в (2) с еквивалентния й израз в (10):
(В -> А) . B -> А
В полученото се вижда вече структурата на модус поненс: анте-цедентът представлява импликация. Вторият й фактор е утвърждаване на антецедента й такъв, какъвто е. Знаците за отрицание не трябва да ни заблуждават - формата, която единствено ни интересува, е същата. Ако искаме, навсякъде може да заменим В с Ай А с В и тогава модус поненс ще се яви в познатия ни вид без никакво префасониране:
178
(А -> В) . А -> В
Следователно модус толенс на условното умозаключение може да бъде сведен до модус поненс на същото умозаключение. Същото може да стане и със закона, записан под номер (5):
(А V В) . А -> В Ще използваме закона (8):
А -> В <-> А V В ,
чрез който всяка импликация може да бъде представена като ди-зюнкция и обратно, всяка дизюнкция може да бъде представена като импликация. Тогава дизюнкцията в (5) ще е равносилна на импликацията А -> В. След заместване, ще получим:
В
(А -> B) . А
в което отново личи структурата на модус поненс.
А самият модус поненс може да бъде сведен към основния, известен още от древността закон за изключеното трето:
(А -> В) . А -> В
Първият фактор на конюнкцията - антецедент А -> В се свежда чрез (8) до А V В и следователно може да го заменим с него:
(А V в) . А -> B
След това като използваме (15), ще получим: А . А V В . А -> В
Първият член на дизюнкцията А . А е логическо противоречие, за което знаем, че не отговаря на нищо от действителността. Дизюнкцията на това нищо с нещо (В . А) е равна само на втория й член. В такъв случай остава:
179
В . А -> В Сега отново може да приложим (8):
В . А V В Ще разчупим линията на отрицанието чрез прилагане на (7):
5 V А V В
Като използваме закона за разместителност на членовете на дизюнкцията (14), ще получим:
(в V в) V А
Но първият член вече е законът за изключеното трето. Той е необходимо истинно положение. Това осигурява истинността надялата дизюнкция независимо от стойността на втория й член (А). Нейната стойност се свежда до необходимата истинност на В V В. Но щом модус поненс се свежда към закона за изключеното трето, това показва, че основните закони на логиката наистина са основни, а останалите произтичат от тях.
Ако тръгнем от закона за разлагане на еквивалентността (11):
(А <-> В) <-> (А -> В) . (В -> А),
то като преобразуваме съгласно (8) импликациите в дизюнкции, ще стигнем най-напред до:
(А <-> В) <-> (А V В) . (В V А)
След това ще използваме разпределителното правило (15) и ще получим:
(А <-> B) <-> А . B V А А V В . В V В . А
Но средните членове на тази дизюнкция (А . А и В . В) са логически противоречия, които имат нулева стойност. Това което остава, след използване на (13) и (14) - разместителност на дизюнкцията и конюнкцията, е:
(А <-> В) <-> (А . В V А В)
Крайният резултат е в това, че ние тръгнахме от един закон за разлагане на еквивалентността, а чрез използване на други закони стигнахме до (12) - друг закон за разлагане на еквивалентността. В първия случай еквивалентността е сведена до взаимна импликация на еквивалентните положения, а във втория е сведена до дизюнкция от едновременната наличност или едновременната липса на нейните страни. Но какво е новото, до което сме стигнали като заменяме един израз с друг, който му е еквивалентен? Какво ново има например в "Не е вярно, че си приятел, а не ми помагаш", в сравнение с "Ако си приятел, ми помагаш", което е равностойно на първото? Ние само по друг начин сме изразили мисълта си, но това за което мислим, остава същото и от логическа гледна точка в пре-формулираната мисъл няма нищо ново.
По-различно е при прилагането на закони, в които главната константа е импликация. С нейните свойства е свързано действителното умозаключение. Ако тръгнем например от:
1. А V В След това разчупим линията на отрицанието и стигнем до:
2. А Я
Сега пък приложим закона "от двата към всеки" (4) З А
Положението (1) е еквивалентно на положението (2), а (2) имплицира (3). Поради това (1) имплицира (3). Предпоставките и изводите на всяко умозаключение се свързват посредством логическата връзка "ако, то". Тя, за разлика от еквивалентността, не е обратима и следователно е единство не на еднакви, а на различни характеристики на мислите, които свързва. Предпоставките могат да съдържат положения, които са изрази на еквивалентност, но главната константа, която предшества извода, е импликация.
Нека разгледаме най-напред разсъждение, в което предпоставките и изводът са изразени със средствата на обикновения език: "Военната продукция ще се увеличава, само ако се съкращава притокът на жизнени блага. Ако притокът на жизнени блага се съкращава, стандартът на живот ще спада. Военната продукция ще се
180
181
увеличава. Следователно стандартът на живот ще спада".1
Първото изречение ще преведем като еквивалентност (само ако!) между увеличаване на военната продукция (А) и съкращаване на притока на жизнени блага (В). Второто явно е импликация между съкращаване притока на жизнени блага (В) и падане стандарта на живот (С). Третото утвърждава увеличаването на военната продукция (А). Изводът утвърждава спадането на стандарта на живот (С). Следва ли той от предшествуващите положения? За да проверим това, ще запишем със символни средства всички положения и ще ги поставим едно под друго. Трите точки заместват думата "следователно", т.е. знака за импликация:
\.А о В
2. В -> С
3. А I :.С
Сега ще потърсим начини за свързване на предпоставките. Ако свържем (1) и (3), ще получим В:
(А <-> В) . А -> В
Изводът (В) следва по валидната схема за умозаключение. След това полученият резултат (В) може да бъде свързан с втората предпоставка:
(В -> С) . В -> С
Изводът С следва в този случай по модус поненс.
Същата задача може да бъде решена и по друг начин. Свеждаме еквивалентността (1) до двустранна импликация съгласно известен закон от списъка:
(А о В) <-> (А -> В) . (В -> Л)
След това по закона "от двата към всеки" от конюнкцията остава само първият й член А -> В. Съединяваме го с третата предпоставка (Л) и по модус поненс получаваме:
Copi M Irving, Symbolic Logic, New York, 1959, р 50
182
(А -> 5) . А -> В
Съчетаваме полученото (В) с втората предпоставка и отново по модус поненс получаваме същия краен резултат:
(В -> С) . В -> С
Вижда се, че всяка стъпка в доказване валидността на разсъждението се регулира от някакъв логически закон.
Много често в сложните разсъждения предпоставките са повече. Повече са и променливите, които ги изграждат. Ето как би изглеждала проверката на едно от тях:
1. (А V б) . (А V С)
2.А -> D
3.D -> E
4. B . C -> (F -> E)
S. E I :. F
6. А -> Е от 2 и 3 чрез закона за преносимост на имплика-
цията:
(A -> D) . (D -> E) -> (А -> Е)
7. А от 6 и 5 по модус толенс:
(А -> Е) . Е -> А
8 А V В . С от 1 по разпределителния закон:
(А V В) . (А V С) <-> А V В . С
9. В . С от 7 и 8 по модуса на дизюнктивното умозаключе
ние:
(А V В С) . А -> В . С
10. Р -> Е от 4 и 9 по модус поненс:
[В . С -> (Р -> Е)] . В . С -> (Р -> Е)
11. F от 10 и 5 по модус толенс:
(F -> Е) . E -> F
Под чертата (от 6 до 10) са проследени възможните съчетания на предпоставки и получени от тях междинни изводи В (11) сме доказали, че изводът следва с необходимост от предпоставките
Ние можем да представим линейно предпоставките като фактори на конюнкция, която имплицира извода Но ако се опитаме да го проверим по табличен път, ще трябва да пресмятаме 26 = 64 съчетания по истинност Такава проверка явно е много трудоемка формалният начин, по който направихме проверката е по-икономичен Той ни разкрива една умозаключителна верига, като всяко нейно звено е свързано с друго посредством логически закон Отделните звена са изрази на прости мисли или техни съчетания Те са синтетични, т е понякога истинни, а понякога неистинни положения Логическите закони ги спояват така, че получената цялост е необходимо истинна Простите мисли са като книжните пари По-купко-продажбите стават с книжни пари, но те винаги мисловно се отнасят към звонковото злато като техен стандарт Ролята на такъв златен стандарт при свързването на нашите мисли играят логическите закони
Така днешната логика се приближава към идеала на Лайбниц1 за създаване на универсален език, в който чрез прости знаци и техни отношения ще бъдат изразени всички човешки идеи Тогава според него вместо да спорят, хората просто ще вземат молива, ще седнат на масата и ще изчислят на чия страна е истината
УПРАЖНЕНИЯ
ВЪПРОСИ
ОТГОВОРИ
1 Кои черти на действителността, за която мислим са изразени в закона за тъждеството''
1 Устойчивостта определе ността на нещата фактът че независимо от измененията които претърпяват нещата остават същите
2 Към кои сектори на диагра мата ни се отнася законът за изключеното трето?
2 Към сумата от двата сектора, т е към Всички сектори на диаграмата
3 Коя е основата на закона за достатъчното основание''
3 Това което Важи изобщо Важи и в частните случаи понеже в самата действителност общото (свойства и от ношения) съществува в отдел ните неща
4 Приложете закона за раз-чупване линията на отрицанието А В <-> А V В към закона за противоречието А А Какво получавате?
4
1 А А След разчупване линията на отририцанието в
2 А V А По закона за двойното отрицание (А <-> А) то отпада
3 А V А След това прилагаме закона за разместителност и получаваме
4 А V А, т е закона за изклю ченото трето на които е еквивалент
1 Лейбниц, Сочинеиия, т III, М, Л, с 258
184
185
5. Като имате предвид закона А . В <-> А V В, кои двойки изрази са еквивалентни?
1.А.В 5 AVB 2. А. В 6 AVB З. А . B 7. A V B 4. А . В 8. A V B
5. Еквивалентни са изразите 4 и 5, 1 и 8,3 и 6, 2 и 7. Направете таблична проверка на някои от еквивалентните двойки.
6. Като имате предвид закона AVB <-> А . В, кои двойки изрази са еквивалентни?
1. A V B 5. А. В 2. A V B б. А . B 3. A V B 7. А В 4. A V B 8. А. В
6. Еквивалентни са изразите 4 и 7, 3 и 8, / и 6, 2 и 5. Направете таблична проверка на някои от тях, за да се убедите, че са еквивалентни
7 Като имате предвид закона за разлагане на импликацията A -> B <-> A V B, кои двойки изрази са еквивалентни?
1. А -> В 5. A V B 2. А -> B 6. A V B З. А -> В 7. AVB 4. А -> B 8. AVB
7. Еквивалентни са изразите 1 и 7, 2 и 5, 3 и 8, 4 и 6. Проверете таблично някои от тях.
8. Съществува ли еквивалент-ност между:
A -> B и А. В
8. Да, съществува 1. А -> B е еквивалентно на
2. А V В, а след разчупване линията на отрицанието се получава:
3. А. В, което пък е 4. А . B.
9. Направете таблична проверка на закона контрапози-ция: А -> B <-> B -> А
9.
10. Какво ще получите, ако заместите (вж. условието на задача 7) импликаиията с еквивалентния й израз в модус толенс?
10. Модус толенс има вида (А->В). В -> А Като заместим А -> В с В -> А, ще получим (В -> А) . B -> А Полученият израз има структурата на модус поненс.
11. Преобразувайте израза: A -> B V C <-> ?
Кой логически закон е използван във всяка стъпка на преобразуването?
11. 1. A -> BVC
2. А V В V С (използван е законът за разлагане на имплика-цията)
3. А . В V С (чрез използване закона за разчупване линията на отрицанието)
4. А . В V С (двойното отрицание отпада)
5. А . (В . С) (отново е използван законът за разчупване на отрицанието)
6. А . В . С (двойното отрицание отпада, скобите също).
186
187
12 Проследете в урока как се доказва чрез допускане на противното законът за разлагане на импликацията: A -> B <-> AVB
12.
13. Закрийте решението вдясно и най-напред се опитайте сами да докажете валидността на умозаключение-то.
1 А -> В 2. BVC/ .-. А
13. 1. А -> В 2. B V C / .-. A
3. В . С разчупваме линията на отрицанието на (2).
4. В по закона "от двата към всеки".
5. А от 1 и 4 по модус толенс.
14. Същото (като зад. 11) направете с израза:
1.AVB 2.С -> В/ .-. А -> С
14. 1. AVB 2. C -> B/.-. А -> С
3 А -> В от 1 по известен (кой?) закон
4. В -> С от 2 по закона за контрапозиция.
5. В -> С по закона за двойното отрицание.
6. А -> С от 3 и 5 по закона за транзитивност на импликацията.
Цялостно: (A -> B) (B -> C) -> (A -> C)
ЧЕТВЪРТИ РАЗДЕЛ
БЕГЪЛ ПОГЛЕД КЪМ ФУНКЦИОНАЛНАТА
ЛОГИКА
188
ГЛАВА ПЪРВА
КАКВО НАЛАГА ПРОСТОТО СЪЖДЕНИЕ ДА БЪДЕ ПОДЛОЖЕНО НА АНАЛИЗ
§ 1. Нови логически термини: функции, аргументи, квантори.
Науката за сложните съждения - пропозиционалната логика разглежда конституентите на сложните мисли като неанализирани на съставните си части. В нея не се обръща внимание на субектите и предикатите на простите съждения. Единственото, което ни интересува е каква е истинностната стойност на образуваните от тях сложни съждения като функции единствено на съчетанията по истинност на простите мисли, които ги изграждат. Разглеждането на сложните съчетания на мисли допринася съществено за проникването в природата на действителното човешко мислене. В нейните рамки са изяснени и важни умозаключителни форми (напр. моду-сите на условния и разделителния силогизъм), които са присъщи на всяко човешко мислене. Но разглеждането на простите съждения само като неанализирани цялости има и своите ограничения. Например разделът на логиката, наречей пропозиционална логика се е оказал неспособен да изясни логическата необходимост на следването, която е присъща на отдавна изучени умозаключителни форми - например на простия категорически силогизъм. Знаем, че той се състои от две предпоставки, които взети заедно водят до извод. Но ако се опитаме да го представим символно със средствата на пропозиционалната логика, то той трябва да има вида:
A . B -> C
В този запис А и В са предпоставките, а С е изводът. За да е израз на действително логическо следване, формулата, с която сме го изразили, трябва да е аналитично, необходимо истинно положение. Но при всякакъв вид проверка се оказва, че той е синтетично положение. Тук няма да проследяваме възможните 8 (23) съчетания на променливите, което е необходимо за неговата таблична проверка. Достатъчно е да посочим само едно от тях: A и B са истинни,
191
а С е неистинно. В такъв случай конюнкцията на предпоставките ще е истинна, а консеквентът - неистинен. Но това, както знаем, е единственият случай, при който импликацията е неистинна. Следователно средствата на пропозиционалната логика се оказват недостатъчни за изразяване необходимостта на логическото следване на най-рано изучената от Аристотел умозаключителна форма. Този недостатък преодолява функционалната логика, която подлага на анализ простите положения, разглеждани досега като неанализира-ни цялости. За тази цел тя използва нови средства като въвежда функции за означения на характеристики, т.е. за означаване на пре-дикатите на съжденията, аргументи за изразяване на техните субекти, т.е. за означаване на нещата, за които мислим и квантори за изразяване на количествената определеност на съжденията - дали те са общи или частни. С тези нови средства логическата необходимост на следването се разкрива чрез релационен анализ на структурните елементи на предпоставките и изводите.
В предишния раздел се опитахме да надникнем във вътрешния строеж на простите мисли със символните означения, които използва съвременната логика. Ние заменихме формата S - P (субект - предикат), с която преди изразявахме простите съждения с f (x) като означение на съждение за свойства и f (x , y), \ (x , y , z) като означение на съждения за отношения. В тях функцията изразява предиката (свойство или отношение), а заграденото в скоби е означение за субектите на тези предикати. В тези означения не е отчетена количествената характеристика на субектите на съжденията - дали те са общи или частни. В съвременната логика това се прави чрез въвеждане на КВАНТОРИ. Те са два: квантор за общност и квантор за съществуване. Кванторът за общност се записва с х, поставен в скоби, който стои пред израза:
(x)f(x),
което ше четем: "За всяко х е в сила f от х" . Този малко усложнен израз не трябва да смущава никого. Кванторът за общност, поставен пред символен израз на съждение за свойство, просто показва, че свойството се отнася за всички неща, които сме означили с х. Когато то се отнася за някои неща, както е при частното съждение, изразът се предшества от квантора за съществуване, който записваме с обратно Е (3 х):
(E х) f(x) което четем: "Съществуват такива x, че..." или "За някои x;..." Напри-
мер "съществуват (има) щастливи хора" ще бъде изразено с по-горе приведения израз. Той буквално може да се преведе в "съществуват (има) хора (3 х), за които (х) е вярно, че са щастливи (f)". Но още по-точно би било, ако "щастливи хора" бъде представено като ко-нюнкция на двете характеристики, които заедно принадлежат на някои хора. Тогава:
(Е х) f (x) . g (x)
ще бъде по-разчленен запис на същото, който ще четем: "съществуват (има) такива неща (3 х), за които е вярно, че са хора [f (x)] и са щастливи [g (x)]." Такава конюнкция изразява частноутвърдително съждение. Ако то е частноотрицателно, вторият й член е под отрицание:
(E x) f(x).g(x)
ще е символен превод на "някои триъгълници не са равностранни". Но буквалният превод на по-горе приведения израз ще изглежда излишно претрупан: "Съществуват (има) такива неща (3 х), за които е вярно, че тези неща (x) са триъгълници (Г) и (същите тези неща) не са равностранни [(g (х)]". Може някому да се стори, че това е излишно усложняване. Но то е необходимо за приближаване към максималната точност, към която се стреми логиката. Ако частните съждения се изразяват като конюнкции, то общите съждения се изразяват като импликации. Общоутвърдителното съждение "Всички хора са смъртни" се изразява в условното положение "Ако нещо е човек, то е смъртно същество". И понеже тази зависимост е в сила за всички хора, се използва кванторът за общност, който се поставя пред импликацията
(x)[f(x) -> g (x)]
Ще го четем: "За всяко х, ако това (x) е човек (f), то е смъртно (g) същество".
При общоотрицателното съждение със същия субект и предикат, ще имаме:1
(x)[f(x) -> g (x)],
т.е. "Никой човек не е безсмъртен".
192
§ 2. Логическият квадрат и умозаключителни форми пред погледа на функционалната логика.
Изложеното no-горе означава, че основните съждения, чиито взаимоотношения разгледахме, имат свои еквиваленти в съвременната логика, които по-точно изразяват онова, което има логическо значение:
S A P се превежда в (х) [f (х) -> g (х)] ;
S E P се превежда в (х) [f (х) -> g (х)] ;
S I P се превежда ъ (E х) f (х) . g (х) ;
S О Р се превежда в (E x) f (x) . g (x) .
Но поради еквивалентността на тези изрази, логическият квадрат ще изглежда вече по-иначе:
(З х) f (х) . g (х) п о д п р о т и в н и (E x) f (x) . g (x)
Отношенията, които разгледахме, ще се запазят.1 Диагоналите на квадрата отново свързват противоречивите положения. В такъв случай отново символният израз на едното съждение е отрицание на другото:
x [f x -> g x ] <-> E x f x . g X
1 Тук изобщо няма да навлизаме в спорните проблеми В логиката, както и във всяка друга жива наука, има поле за спорове.
Но в случая сме изразили положение, предшествано от кван-тор за общност чрез положение, изразено с квантор за съществуване. Например, от "всички хора са смъртни" сме преминали към положението, което му е еквивалентно: "Не е вярно, че съществува такова нещо, което да е човек и да е безсмъртно същество".
Между тези положения има еквивалентност, а тя означава еднаква логическа стойност - едновременна истинност или едновременна неистинност. Тогава, ако отречем и двете страни, еквива-лентността ще се запази:
(x)[f(x) -> g (x)] <-> (E x) f (x) . g (x)
По закона за двойното отрицание А <-> А ще се освободим от двете черти на отрицанието на дясната страна. След това въз основа на обратимостта на еквивалентността, можем да сменим страните:
(З х) f (х) . g (x) <-> (х) [f (х) -> g (х)]
Сега пък положение, изразено с квантор за съществуване, е изразено с положение, което се предшества от квантор за общност, но е цялото под отрицание. Може да конкретизираме този символен запис по най-различни начини. Например: "Съществуват (има) неща, които хвърчат, но не се ядат" е еквивалентно на "Не е вярно, че всички неща, които хвърчат, се ядат". Всичко това е по-сложно като езиков израз, но по-точно изразява мисълта.
Със средствата на функционалната логика класическата BAR-BARA на простия категоричен силогизъм ще изглежда така:
(x)[f(x) -> g(x)]
(x) [h (x) -> f(x)]/ (x) [h (х) -> g (x)] което ще четем:
За всяко х, ако х е човек (f), то х е смъртно същество (g) за всяко х, ако х е грък (h), то х е човек (f)
Следователно ш всяко х, ако х е грък (h), то той е смъртно същество (g)
194
195
УПРАЖНЕНИЯ
По-долу в таблицата са представени възможните зависимости по истинност в логическия квадрат Тя прилича на таблиците за отчитане резултатите от състезание между шахматисти, в което никой не играе срещу себе си Възможностите са 8 ( 4 съждения, всяко от които веднъж е взето като истинно, а втори път като неистинно) С "И" и "Н" е отбелязана истинностната стойност на останалите съждения в квадрата Въпросителният знак отбелязва случаите, когато стойността е неопределена
SAP
SEP
SIP
SOP
SAP
SEP
SIP
SOP
SAP
SEP
SIP
SOP
'
Закрийте лявата диаграма и се опитайте да определите в празните места на диаграмата вдясно каква е стойността на останалите съждения Ако се затрудните, отново се върнете към урока и си припомнете правилата за взаимните им отношения.
SAP
SEP
SIP
SOP
SAP
Н
и
н
SEP
н
н
и
SIP
?
Н
?
SOP
н
?
SAP
?
?
и
SEP
?
и
?
SIP
н
И
и
SOP
и
н
и
РАЗДЕЛ ПЕТИ
НЯКОИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ЛОГИКАТА И ЕДНО
ОБОБЩЕНИЕ ЗА НЕЙНИЯ СМИСЪЛ
196
ГЛАВА ПЪРВА
НЯКОИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ЛОГИКАТА
Колкото по-общо е знанието, толкова по-широко е неговото приложение. Логиката е най-общата наука и поради това степента на нейната приложимост е най-голяма. Всъщност това е искал да каже Хегел с твърдението, че всяка наука е приложна логика.1 Резултатите на науките намират израз в техните основни понятия. Законите, които те откриват, са съждения за съществени взаимовръзки в изследвания предмет. В тях се умозаключава. Логиката пък изучава най-общите, (= формалните) характеристики на всички понятия, съждения и умозаключения. Тя е наука за най-основните принципи на всяко мислене.
Ние мислим, когато решаваме практически проблеми. Всяка човешка дейност има за предпоставка логическото мислене. То е вплетено в тъканта на действията, чрез които човек променя света.
От необхватната област на възможните приложения на логиката, ще разгледаме накратко само някои.
Най-напред ще решим някои логически задачи. Ще се опитаме да видим, че то се извършва чрез прилагане на познати логически принципи.
Една от най-съществените задачи на логиката е да разграничи правилните (валидните) от неправилните (невалидните) разсъждения. Това знание има голяма практическа стойност за нас. Неговото прилагане ни дава възможност да преценим кога в нашите собствени мисли и в разсъжденията на другите хора думата "следователно" е употребена на своето точно място и кога след нея или нищо не следва, или следва тъкмо противоположното. По такъв начин можем да придобием умение да контролираме мисленето, да изработим у себе си логически "усет" кога то е съобразено с логическите принципи, които изучихме. Във връзка с това ще разгледа-
Изглежда същото преди него е казвал Кант с твърдението си. че логиката "е основа на всички други науки и е пропедевтика на всяка употреба на разсъдъка" (Кант, И , Трактата и писъма, М , Логика, 1980, с 321)
199
ме някои логически грешки, които трябва да избягваме.
Логиката не само предоставя за употреба на другите науки основните принципи на мисленето, които е разкрила. Тя ги прилага и към собствените си положения. Затова ще приложим един познат логически метод за обосноваване на една важна за логиката истина. Ако наистина човек има като съществена характеристика да е същество, което умозаключава, то това е достатъчно, за да оправдае нейното съществуване като наука и изучаването й в училище.
Накрая ще разгледаме едно техническо приложение на логиката.
§ 1. Кой какъв е?
Най-напред ще разгледаме една елементарна логическа задача, в която се търсят политиците.
Разказва се, че имало едно време някакво затънтено място, в което политиците никога не казвали истината. Случило се така. че през него минал странник, който срещнал трима местни жители и попитал първия от тях: "Политик ли си?" Той отговорил на въпроса. Вторият жител съобщил, че първият е отрекъл, че е политик. Третият жител казал, че първият е политик. Пита се има ли политици сред тях и колко са те?
За да решим задачата, трябва да имаме предвид, че за всеки от тримата има две възможности - да е политик или да не е политик. Освен това всеки от тях може да казва истината или да не я казва. Но от условията на задачата личи, че този който казва истината, не е политик, а този, който не я казва, е политик. Нека най-напред приложим тези условия към възможните отговори на първия местен жител. По условие той е отговорил на зададения въпрос, но не се казва какво е отговорил. Да допуснем, че той е политик. Ако той е политик, тогава той лъже и трябва да отрича, че е политик. Втората възможност е той да не е политик. Ако той не е политик, то той казва истината и следователно трябва да отрича, че е политик. Значи и в двата случая първият местен жител отрича, че е политик
Тъй като вторият жител е съобщил, че първият жител е отрекъл, че е политик, той казва истината и следователно, не е политик. Третият жител твърди, че първият е политик. Ако първият е политик, тогава Третият казва истината. Ако е така, тогава третият жител не е политик. Ако първият жител не е политик, тогава третият лъже и следователно той е политик. Стигаме до това, че ако първият жител е политик, то третият жител не е политик и обратно - ако третият е политик, то първият не в политик. Но това са условията за истинност на изключващата дизюнкция, която знаем, че е истина само при различна истинностна стойност на аргументи-
200
те. Тогава един от двамата - първият или третият местен жител - е политик. За втория вече знаем, че не е политик. Това, което остава е, че сред тримата местни жители само един е политик. Все пак на трима души един политик не е много, нали?
Основа на разсъждението, което направихме, е дадената по условие еквивалентност между "политик" и "човек, който лъже".1
Нека сега в една полицейска задача потърсим възможния престъпник. Застрелян е съдържателят на нощен клуб. След щателно разследване, полицията се спира върху компания от пет възможни извършители - Лефти, Ред, Допи, Спаик и Бъч. Дадена им е възможност да кажат по три твърдения, две от които са истинни, а едното неистинно. Всеки от заподозрените е казал следното:
Лефти: Не съм убил. Никога през живота си не съм притежавал револвер. Спаик го направи.
Ред: Не съм убил. Никога не съм притежавал револвер. Другите профукаха доларите.
Допи: Невинен съм. Никога не съм виждал Бъч преди. Спаик е виновен.
Спаик: Невинен съм. Бъч е виновен, Лефти излъга, че аз съм виновен.
Бъч: Не съм убил. Ред е виновен. Допи и аз сме стари приятели.
Въз основа на тази информация може ли да се реши кой е убиецът?
Полицейският следовател трябва да свърже информацията и да намери някакви междинни изводи, които ще го приближат към крайния извод. Той би могъл да разсъждава в такава последователност: тъй като Лефти казва, че Спаик е убиецът, първото и третото твърдение на Спаик са еквивалентни по смисъл (невинен съм. Лефти излъга, че съм виновен). Щом са еквивалентни, те имат еднаква логическа стойност - или и двете са истинни, или и двете са неис-тинни. Тъй като по условие само едно от трите твърдения на всеки е неистинно, следва, че те са истинни.
Но в такъв случай третото твърдение на Допи (Спаик е виновен) е неистинно, а в такъв случай остава първите му две твърдения да са истинни. Второто от тях е: "никога не съм виждал Бъч преди". Бъч пък твърди, че Допи и той са стари приятели. Щом е вярно твърдението на Допи. че никога не е виждал Бъч преди, то няма да е вярно твърдението на Бъч, че той и Допи са стари прияте-
Това условие, разбира се, не се отнася за съвременността.
201
ли. Остават верни първото и второто твърдение на Бъч, от които второто е, че Ред е истинският убиец.
Полицаят би могъл да разсъждава и по друг начин: второто твърдение на Допи (Никога не съм виждал Бъч преди) и третото твърдение на Бъч (Допи и аз сме стари приятели) са противоречиви. Следва, че едното от тях е неистинно. Но ако второто твърдение на Допи е неистинно, третото му твърдение (Спаик е виновен) трябва да е истинно. Но ако Спаик е виновен, неговото първо и трето твърдение едновременно трябва да са неистинни. Съгласно условието само едно от твърденията е неистинно. Следва, че Спаик е невинен. От това следва, че второто твърдение на Допи не е неистинно. От това пък следва, че третото твърдение на Бъч е неистинно. Останалите са истинни. Второто от тях е, че Бъч е убиецът.
Както се вижда, въз основа на приетите условия, разсъжденията следват в една необходима връзка. Получените изводи се свързват с предпоставки или други следствия и крачка по крачка се върви към крайния извод. В разсъждението ясно личат контурите на познатите ни условни и разделителни умозаключения.
Накрая, нека от логически задачи, в които се търсят политици и престъпници, разгледаме още една, в която пък се питаме кой какъв е в областта на изкуството.
Нека приемем, че Иван, Петър, Стоян и Драган са хора на изкуството. Един от тях е танцьор, друг е художник, трети е певец, а един от тях е писател.
Разполагаме със следната информация за тях:
1. Иван и Стоян са били на представление в операта, където певецът е изнесъл концерт.
2. Петър и писателят са взели портретите си от художника.
3. Писателят, чийто очерк за Драган е станал известен, възнамерява да пише очерк за Иван.
4. Иван никога не е чувал за Стоян.
Питаме се кой от тях какъв е на попрището на изкуството?
Естествено е, че от първото положение всеки ще направи извода, че Иван и Стоян не са певци. От второто следва, че Петър не е писател и не е художник. От третото следва, че Драган и Иван не са писатели. Но информацията, която имаме е по-разнообразна и е разпокъсана. Трябва да я свържем в едно цяло, а е трудно да държим в ума си едновременно всички факти и междинни заключения, направени от тях. Цялата информация, с която разполагаме, може да бъде представена съвсем формално с познати символни
средства. Но тук ще предпочетем да я представим на една таблица, в която има място за всички възможности, а след това да пристъпим към последователно изключване на някои от тях. Общият брой на възможностите е 16, тъй като имаме 4 представители на изкуството и всеки от тях има по една от 4 възможни професии.
Иван Петър Стоян Драган
Танцьор
Художник
Певец
Писател
И 11
Н 10
Я 1
Н 6
Н 12
Н 4
И 14
И 3
Н 8
Н 9
Н 2
И 7
Н 13
И 16
Н 15
И 5
Таблицата има четири колони и четири реда. Когато установим, че някои от четиримата представители на изкуството няма някоя от професиите, ще поставим "Н" (неистина) в съответния правоъгълник. Когато установим, че има някоя от професиите, ще поставим в правоъгълника "И" (истина). Така постепенно ще попълваме таблицата и цялата стара и получената нова информация ще бъде винаги пред очите ни.
От условието (1) извеждаме, че Иван и Стоян не са певци. Поставяме срещу имената им в третата колонка "Н". От условието (2) научаваме, че Петър не е нито писател, нито художник. Записваме това с "Н" във втората и в четвъртата колонка срещу името на Петър. От условието (3) установяваме, че Драган и Иван не са писатели. Записваме това отново с "Н" в четвъртата колонка срещу имената им. Предпоставките съдържат цялата досегашна информация. Изразили сме я в клетките на диаграмата, които са защриховани, за да личи каква нова информация по-нататък ще получим от нея. Всъщност това личи и от номерирането на клетките - всеки нов извод е означен със следващо число.
Виждаме, че остава Стоян да е писател. Записваме "И" в четвърта колонка в познато място срещу името му, а заедно с това записваме "Н" в първата и втората колонка на същия ред (Стоян не е танцьор и не е художник). Продължаваме с това, че съгласно условие (2) Стоян (вече знаем, че той е писателят) е взел портрета си от художника, а пък съгласно условие (4) Иван не познава Стоян. От това следва, че Иван не е художник. Поставяме "Н" в клетката, в която колонката за художник се пресича с реда, на който е името на Иван. В резултат на новото изключване остава единствено Иван
202
203
да е танцьор. Записваме "И" до неговото име в първата колонка. Щом танцьорът е вече известен, Петър и Драган не могат да бъдат танцьори. Записваме "Н" в първата колонка срещу имената им. Тогава за Петър остава единствено да е певец. В такъв случай Драган не може да бъде певец. Означаваме отново с "Н" това. За него остава да е художник.
И така, в резултат на последователно изключване установяваме, че Иван е танцьор, Петър е певец, Стоян е писател, а Драган е художник.
Реалните проблеми, пред които сме изправени в света, в който живеем, във всички случаи са по-сложни. Информацията, с която разполагаме за решаването им в повечето случаи няма да бъде така определена. Сигурно ще се наложи тя да се попълва или преобразува въз основа на изучаване на неизследвани още неща. Естествено е при решаване на проблемите да има различия, свързани с индивидуални различия в качества на ума, които имат хората. При равни други условия, по-схватливият ще се ориентира по-бързо към установяване на междинните изводи, ще извърши по-рационално изключването на възможности, ще стигне по-бързо до крайния резултат. Но тези проблеми не са предмет на логиката, а по-скоро на науката психология. За нас е важно, че и природно надареният ат-лет не разчита само на природните си данни, а се упражнява. Решаването на логически "главоблъсканици", дори да води понякога до главоболие, представлява приложение на логиката и е подготовка за решаване на по-сложни проблеми.
§ 2. Някои логически грешки.
Цел на всяко човешко знание е достигането до истината. "Истината - пише великият Хегел - е велика дума и още по велик предмет. Ако духът и душата на човек са още здрави, то при звуците на тази дума трябва да се повдигнат гърдите му".1 Науката логика също има за цел достигането до истината. Но истината, която преследва тя, се отнася за следването на човешките мисли една от друга. Ние трябва да разграничим строго случаите, в които това следване е налице от случаите, в които то липсва.
Но всеки знае, че пътят.към истината е труден. Той е осеян със заблуждения, които се преодоляват с времето. Трябва да знаем, че има голяма разлика между заблуждение и лъжа. Може да лъже само този, който знае истината, но съзнателно я скрива от другите, тай като преследва някакви цели. Лъже например политикът, кой-
то знае как стоят нещата, но иска да баламоса тълпата. Кой , кога и за какво лъже, не е въпрос за науката логика. От науката етика ще научим, че не е нравствено да се лъже. За разлика от лъжите, заблужденията са били винаги естествен спътник на великия човешки стремеж към истината. Дори най-светли умове на човечеството са били неволни пленници на човешки заблуди. Тези заблуди са от различно естество. Неточното определяне на епицентъра на едно земетресение е една геофизическа грешка Неточното определяне формата на мисленето е също грешка. Но тя е логическа грешка.
Логическа грешка, която е допусната съзнателно, се нарича СО-ФИЗЪМ. Той представлява погрешно разсъждение, което има заблуждаваща прилика с логически валидно разсъждение. Логическа грешка, която е допусната несъзнателно, се нарича ПАРАЛО-ГИЗЪМ.
И в двата случая трябва да се опитаме да разкрием в какво точно се състои логическата грешка. В първия - за да разобличим лъжата. Във втория - за да се освободим от заблуждението.
Логиката е наука за формата на мисленето. Затова логическите грешки са нарушения на формата на мисленето. Ние разгледахме вече различни случаи на формални логически грешки. Знаем, че е НЕЛОГИЧНО да отричаме консеквента на една истинна импли-кация въз основа на отричане на нейния антецедент; да утвърждаваме антецедента на една истинна импликация въз основа на утвърждаване на нейния консеквент.
И двете логически грешки имат външно сходство съответно с утвърдителния модус (модус поненс) и отрицателния модус (модус толенс) на условно-категоричното умозаключение. Знаем още, че е НЕЛОГИЧНО да се опитваме да извеждаме каквото и да било от утвърждаване на един от членовете на една включваща дизюнкция. С нея е в сила само отрицателно-утвърдителния модус.
Логическа грешка би представлявало неспазването на което н да е правило на простия категоричен силогизъм.
Във всички посочени случаи става дума за нарушаване формата на мисленето. Затова те са примери на формални логически грешки.
Гегель, Энциклопедия философских наук, часть первая, М.Л, Логика, 1930, с 49
204
Достигането до истината, към което се стреми логиката, е свързано не само с формата, но и със СЪДЪРЖАНИЕТО НА МИ-
205
СЛЕНЕТО. Изводите, които правим, могат да бъдат със сигурност истинни само при условие, че предпоставките, от които тръгваме, са истинни. Още Аристотел е показал, че от неистинни предпоставки само понякога могат да се правят истинни изводи. Когато изводите са неистинни, можем да сме сигурни, че поне някоя от предпоставките е неистинна.
Истинни предпоставки задължително водят до истинни изводи. Неистинни предпоставки водят понякога до истинни, а по-някога до неистинни изводи. Когато изводът е неистинен, следва че поне някоя от предпоставките е неистинна.
Задача на НЕФОРМАЛНАТА ЛОГИКА е да взема предвид съдържанието на мисленето, конкретната истинност на предпоставките, която осигурява истинността на извода, към която се стремим. Тя се отнася към формалната така, както картографията се отнася към геометрията. "Около нас няма евклидовски прави плетове или евклидово плоски поляни. Но картографът може да снеме действителните неправилни плетове и действителните неравномерни поляни само като използва идеално правите линии и идеално плоските равнини, така че да може да нанесе на картата тяхното местонахождение и взаимното им разположение."1
Във връзка с отчитането на мисленото съдържание в неформалната логика съществуват редица неформални логически грешки. Тук ще разгледаме само една от тях. Става дума за широко разпространеното позоваване на човека, който е изказал някаква мисъл. Наричат го ARGUMENTIUM AD GOMINEM, която буквално значи "аргумент, насочен към човека". Но хората се споменават за добро или за лошо. Понякога вместо да се докаже или опровергае с аргументи едно становище, се позовават на лични качества, произход или други особености на личността, която е изказала това становище.
В едни случаи това става чрез позоваване на безспорния авторитет, който някоя личност притежава. В историята на знанието съществуват случаи, когато теоретическото спокойствие е било нарушавано от внезапно появил се на научния небосклон противоречив случай. Неговият изгрев се посреща различно от различните хора. Носителите на догматичен дух го срещат с неприязън. Той поставя властно пред тях изискване за ново, недогматично, твор-
1 Ryle, G, Formal and Informed Logic, London, 1942, р 255
ческо мислене. Много векове след Аристотел, редица положения на неговата физика са безнадеждно остарели.
В съчиненията на революционера в науката Галилео Галиеи. защитникът на старите Аристотелови физически твърдения Симп-личио няма други аргументи, освен позоваването на Аристотело-вия авторитет: "А не ви ли стига ясното свидетелство на Аристотел...?" Хора като него, но думите на Галилей, са склонни по-скоро нагло да отричат това, което става на истинското небе, отколкото да допуснат най-малкото изменение на небето на Аристотел.1
Още по-опасно, дори страшно е, когато се позовават на авторитета на властник, който може да се разпорежда с човешки съдби.
Авторитети е имало и ще има, но позоваването на тях не е доказателство за истинността на всяко тяхно твърдение. Освен това авторитетът в една област не е авторитет в друга. Мълчаливо приетата предпоставка е в това, че всички твърдения на авторитета, на който сме се позовали, са истинни. Това съвсем не е сигурно и поради това не е задължително да са истинни твърденията, които са свързани с него.
Симетрична на разглежданата грешка представлява случаят, в който често преценяват истинността или неистинността на човешки твърдения на тъкмо противоположно основание. В случая се разсъждава по една позната схема: "Абе оставете го този, не го ли знаете какъв е?" След това се изреждат факти за неговия произход, занаят, убеждения, личен живот. Мълчаливо приетата предпоставка е, че нито едно твърдение на подобен човек не е вярно. Това пък представлява "аргумент насочен срещу човека". В миналото физическата теория на Айнщайн бе отхвърляна, тъй като той е евреин. Генетическата теория на Мендел бе отхвърляна, тъй като той бил монах. Нито еврейският произход на Айнщайн, нито монашеството на Мендел имат каквото и да било отношение към съдържанието на теориите, които те са създали. Единственото, което има значение е не позоваването на личности или оплюването на личността, а съответствието на изказаните от нея твърдения с действителността.2 Тя е единственият съдник. А за всеобща радост тя е независима от всякакви авторитети.
1 Галилей, Г, Избраные труды, т I, М, 1965, с 209
2 В логиката на Кант това е изразено много точно " въпросът не е в това КОЙ го е казал, а КАКВО е казано" (Ср И Кант, Трактата и письма, М , Логика, 1980, с 385 )
206
207
УПРАЖНЕНИЕ
Помислете Върху логическа грешка, която смятате, че сте допуснали
ГЛАВА ВТОРА
ЧОВЕКЪТ = СЪЩЕСТВО, КОЕТО УМОЗАКЛЮЧАВА
Приравняването, което е направено в заглавието, подсказва наличието на съществена връзка между характеристиките "човек" и характеристиката "умозаключаващо същество". Тъй като правенето на умозаключения представлява концентриран израз на човешката логичност, може да заменим "умозаключаващо същество" със синонима му "логически мислещо същество". Но връзката, подсказана в заглавието, би имала стойност само на внушение, ако не бъде обоснована. Това значи да бъде изведена от други истини, които считаме за несъмнени. Ако успеем да докажем нейната съществе-ност, можем да разменим страните на равенството. Но как да стане това? Един възможен път е посочването на примери на човешки умозаключения, разглеждането на които би ни довело до извода за присъствие на безупречна логичност в тях. Но примерите, колкото и многобройни да са те, могат само да подкрепят твърдението, подсказано в заглавието, но не са в състояние да го обосноват. В движението по пътя на доказване чрез изброяване на примери не сме застраховани от среща с препятствия, наречени контрапримери. Този, който не е съгласен, че човек е умозаключаващо същество, би посочил примери на човешки разсъждения, в които думата "следователно" не е на мястото си, т.е. в действителност или нищо не следва, или понякога следва тъкмо противоположното на това, което претендира да е следствие. Несъзнателното стигане до тях обикновено се нарича паралогизъм, а съзнателното прибягване към тях например от политика, който знае, но иска да излъже тълпата, се нарича софизъм. Изобщо не само истините, но и заблужденията, които наричаме грешки, са наш неизбежен спътник. От познавателна гледна точка би трябвало да се интересуваме единствено от това за каква действителност те се отнасят: неточното измерване дълбочината на вулканичен кратер е геофизическа грешка; невярната лекарска диагноза е медицинска грешка; твърдението, че Черни връх е най-високият планински връх в България е географска
208
209
грешка. Подобни фактически грешки, т.е. фактическо несъобразяване с действителното положения на нещата, обикновено се приемат като нещо естествено, тъй като всеки знае, че човек не е все-помнещо или всезнаещо същество. В случая изобщо нямаме предвид възможните практически последици на допуснатите фактически грешки. Сигурно хората много повече ги засяга невярната лекарска диагноза за децата им, отколкото фактическите грешки, които те допускат по някой учебен предмет.
Логическите грешки имат това общо с фактическите грешки, че също представляват несъобразяване с действителността. Но действителността, за която се отнасят, без да е друга, е много по-дълбока. Те се отнасят до несъобразяване с такива нейни пластове, които стоят много под повърхността. Ако тръгнем например от фактическата физическа истина: "Всички метали са електропроводими" и присъединим към нея фактическата истина "Тези неща са метали", естествено ще направим извода: "Тези неща са електропроводими." Но да допуснем, че приемаме истинността на първите две твърдения, но отричаме истинността на извода. Това значи да приемем за истина неговото отрицание. Като запазим първото твърдение: "Всички метали са електропроводими" и прибавим към него отрицанието на извода от предишното разсъждение "Тези неща не са електропроводими" ще се окажем принудени да направим извода: "Тези неща не са метали". Тези неща са метали и същите тези неща не са метали, т.е. нещо Е и заедно с това то НЕ Е представлява противоречие, което не е просто поставяне на реч срещу друга реч, а е прегрешение към най-дълбоките основи на действителността: няма такава действителност, на която то да отговаря.
Естествено е да попитаме: ако изобщо е вярно древното твърдениеERRARE HUMANUM EST1, то какво пречи да е вярно, че е човешко да се правят логически грешки? Нима не сме ги откривали в разсъжденията на други хора? Не ги ли констатираме и у себе си, когато сме подлагали на самокритичен размисъл свои предишни разсъждения? Една от съществените задачи на логиката се състои в намирането на критерии за разграничаване на правилните (= валидните, същинските) умозаключения от неправилните (= невалидните, привидните) разсъждения. Само първите ще наричаме умозаключения, тъй като вторите просто са направени без ум. Но все пак съществуването на логически грешки е. факт и той се превръща в контрафакт спрямо всеки опит за обосноваване чрез привеждане примери на тезата, че човек е умозаключаващо същество.
От лат Човешко е да се греши.
Но когато по пътя, по които сме тръгнали, се срещат непреодолими препятствия, се търси друг, околен път за да се достигне до там, за където сме се запътили. Само ако успеем да изведем съществе-ността на връзката между "човек" и "умозаключаващо същество" от други основания, а след това включим способността за умозаключения в определението на човека, може да обезсилим неприятните контрапримери, свидетелствуващи за реално съществуване на разсъждения, които представляват логически грешки. Тогава ще имаме право да ги отнесем към прояви, които не са специфично човешки, които говорят за наличието на нещо нечовешко в човека. Но това значи да се усъмним във всеобщата валидност на древната максима: вярно е, че човек често греши, но не е специфично човешко да се правят логически грешки.
Много по-надежден път за обосноваване съществеността на въпросната връзка е да се опитаме да я изведем чрез допускане на противното. Става дума за използване на метод, познат на всеки ученик от изучаването на елементарната геометрия. Трябва например да се докаже, че от точка, нележаща на дадена права, но в една и съща равнина с нея, може да се прекара само един перпендикуляр към правата. Доказателството се извършва чрез допускане на противното, т.е. условното приемане на възможността да се прекара повече от един перпендикуляр. След това се проследяват последователно непосредствените, а и по-отдалечените следствия (следствията на следствията) на положението, което условно сме допуснали. В края на доказателството се оказва, че някое от неизбежните следствия противоречи на вече установените аксиоми или теореми, т.е. геометрически зависимости, истинността на които е несъмнена. В нашия случай, ако сме допуснали възможността от два перпендикуляра от точката към правата, ще се наложи да приемем, че равнинният триъгълник има сбор на вътрешните ъгли по-голям от 180°. Това значи, че сме достигнали до логическо противоречие, т.е. едновременно утвърждаваме истинността на нещо и заедно с това отричаме същото това нещо. Единственият изход е в отхвърляне на условно допуснатото, т.е. на възможността да се прекара повече от един перпендикуляр от точката към правата. По необходимост остава той да е само един.
От това, че всеки ученик е запознат с REDUCTIO AD ABSURDUM (свеждане до нелепост, до абсурд) от геометрията, не следва, че произходът му трябва да се търси в геометрията или в математиката изобщо. Проследяването на неговата история би ни отвело в далечната древност, например в школите на Парменид и Зенон, когато свеждането към абсурд е било не само оръдие в спора, но и синоним на диалектиката. То присъства в диалозите на
210
211
Платон, а след това бащата на логиката Аристотел го поставя в основата на своята система на силогизмите. Следователно става дума за ЛОГИЧЕСКИ МЕТОД, който в геометрията и математиката изобщо се използва, т.е. прилага. В тях той се нарича метод на непряко доказателство. Но прилагането му не го превръща в математически метод и една "реституция", колкото и трудно да бъде осъществена поради изтеклото време, би била справедлива. Тя би показала законните права на логиката на собственост върху нещо, което е откърмила в собствените си недра и след това безкористно, без никакъв наем, е предоставила за употреба. Но нищо не пречи на използването му от логиката за решаване на нейните собствени проблеми. И така, в случая тръгваме от положението:
1. Съществуват хора:
Искаме да обосновем твърдението:
2. Способността за умозаключаване (= логичността) е съществени характеристика на хората;
3. Отричаме положението (2); Не е вярно, че способността ш умозаключаване (= логичностпш) е съществена характеристика на човека;
Положението (3) би било вярно, ако способността за умозаключаване изобщо липсва, ако е присъща и на други представители на живия свят, тъй като в такъв случай тя няма да има качеството да е специфично човешка, или пък ако връзката с човешкото съществуване е случайна.
Твърдението, че умозаключаването не е специфична човешка дейност би могло да се основава на предположението, че то е присъщо поне на по-висшите представители на животинския род, с който сме свързани генетично. Никой не утвърждава наличие на мисъл у амебата, но мнозина съвсем сериозно уверяват колко умни например са кучетата им. Това, което е научно установено в случая, е безспорното наличие, особено у по-висшите ни предходници, на елементарен анализ и синтез, подобен на този който ние правим, различаващ се от нашия само по степента си. По-детайлни физио-логически експерименти върху кучета са показали неща, които могат да се тълкуват като елементарна абстракция, наподобяваща човешките абстракции: В резултат на подаване на храна, в мозъка на куче е установен траен положителен условен рефлекс да реагира на по-голяма фигура (от показваните двойки, различаващи се само по
212
големина триъгълници, кръгове, квадрати). При смяна на обстановката, когато например по-големият триъгълник, познат от старата обстановка, е показан в съчетание с нов, по-голям от него, кучето се ориентира към по-големия... Ако антропоморфизираме, ще решим че то е "отсъдило", че го хранят на "по-голямото" и не се оставя да бъде излъгано в променения случай. Безспорно то реагира не на абсолютната сила на дразнителите, а на отношенията им. Но отношенията по природа са нещо общо и затова дори животинското им установяване значи зародиш на елементарна абстракция. Изследователите на стари логически школи ни уверяват, че големият логик Хризип1 е вярвал, че дори животните разсъждават по изучавания от него разделително-категоричен силогизъм, който вече разгледахме. Той имал предвид поведението на куче, преследващо заек по пътека, която се разклонява на три и кучето не е видяло (т.е. няма непосредствен опит) по кое от разклоненията е поел заекът. Било наблюдавано, че то подушва първото, не установява следи, след това подушва второто и след като не ги открива и там, без изобщо да подушва третото (т.е. без непосредствен опит), хуквало по третото разклонение. Но дали имаме основание да считаме, че в случая от първото или второто или третото в съчетание с и първото и второто ги няма, кучето е "отсъдило", че заекът трябва да се търси в третото разклонение? Дали многобройните кучешки повтаряния не са довели до съкращаване на звена в предишния опит? Това са трудни проблеми пред науката, но все пак и умозаключи-телните възможности на кучешката глава само се предполагат, но не са доказани. Това ни дава право да оставим животинския свят и да се обърнем към света на хората, за които способността за умо-заключения е безспорна, но може от някои да се счита за случайна, т.е. да не произтича от неща, които са съществено свързани с битието му на човек. Насочването към човешки прояви стеснява кръга на онова, което търсим.
Ако изобщо отхвърлим самата способност за умозаключаване, единственото нещо, което ни остава, е да разчитаме на своя непосредствен опит, а той се отнася до това което усещаме, виждаме, чуваме или за което имаме спомен.
Едно от не много отдалечените, но съществени следствия на подобно допускане би представлявало положението (4). В такъв случай ще отсъствува всякакво научно знание за действителността. Който приема положението (3), трябва да приеме положението (4). Това е така, тъй като всяко научно знание може да бъде приравнено с
1 Mates, B , Stoic Logic, California, 1961, р 51
213
установяване на трайни, съществени зависимости между определени явления. Такъв характер имат законите на геометрията, на физиката, на биологията. Ако трябва например да намерим лицето на част от покрива на сграда, която виждаме от прозореца на класната стая, то в решението на задачата неизбежно присъствуват няколко момента: установяване (чрез наблюдение, а още по-добре чрез измерване), че покривът има форма на трапец. Намираме основите и височината му, а след това конкретно прилагаме известната ни от геометрията формула за лице на трапец към частния случай. Вярното решение на задачата ще зависи от верността на положенията, от които тръгваме: лицето на фигурата наистина има форма на трапец; точно са измерени основите и височината му. В посочените моменти има значително място за непосредствения ни опит. Ние виждаме трапеца, наблюдаваме и отчитаме резултатите от измерването. Но не трябва да се заблуждаваме, че дори в този случай опитът е "чист", т.е. непримесен с нищо друго. Нито пък, че той е толкова непосредствен, т.е. колкото и да го анализираме, няма да достигнем до моменти, които го предхождат или съпътствуват, но във всички случаи излизат вън от него и не могат да бъдат обяснени чрез него. Ние не само виждаме с очите си, но и "отсъждаме", че фигурата има форма на трапец. Това задължително предполага сравнение и различаване (фигурата не е окръжност, не е квадрат, не е триъгълник и пр.) с предварително познати неща и заедно с това мисловното отнасяне към съвкупност от други, пак предварително познати неща. Този процес се нарича категоризиране: въпросната фигура е трапец, тъй като притежава съществените свойства, чрез които в геометрията се определя що е то трапец изобщо.
В непосредствения опит ние възприемаме единичните неща заедно с техни общи свойства и отношения. В логиката те обобщено се наричат характеристики. Просто земен факт е, че общото и единичното не съществуват отделно (например едното да е тук, а другото - там), а са в неделимо единство, от което можем само мислено да се абстрахираме, без да можем реално да ги отделим. В тази неделимост те са в очите на всеки човек. Но самото осъзнаване на определена характеристика КАТО ОБЩА вече представлява прекрачване тесните граници на опита. То е устремяване на човешката мисъл към обобщения, които имат основата си в опита, но не могат да бъдат обяснени от него. Суровият материал на опита трябва да бъде подложен на логическа обработка.
Освен това известно е, че непосредственият опит често ни предлага привидности, някои от които могат да бъдат съвсем измамливи. Във всеки ясен ден наблюдаваме как слънцето изгрява, обикаля небосвода и залязва. В древността, когато това внушение на непос-
214
редствения опит се е приемало за действителност, са правени опити за "обосноваването" му чрез повърхностна аналогия: както една къща може да се освети чрез обикалянето й с фенер в ръка, така слънцето осветява земята като обикаля около нея. Сега всеки ученик знае, че научната истина е тъкмо противоположната на това, което ни предлага безкритичният опит. Но едва в края на 1992 година, след като са изтекли четири века, най-после папата каза тежката си дума за реабилирането на Галилей...
Като оставим настрана по-редките случаи, в които опитът ни води до илюзии и задържим мнозинството от тях, в които той не ни заблуждава, трябва да признаем, че с него се поставя началото на знанието, но само с него не може да се стигне далеч по неговия труден и възходящ път.
Да допуснем, че все пак някой не е убеден в ограничеността на опита и предпочита да вярва само в това, което може да чуе, да види, да пипне. Нека противно на истината приемем, че изходните положения на задачата (установяването, че формата е трапец, измерването на съответните му основи и височина) са изцяло подвластни на непосредствения опит и не изискват никакво прибягване до логика с присъщото й излизане вън от непосредствените опитни данни. Не са необходими сложни разсъждения, за да се убедим че елементарната геометрическа задача ще бъде решена единствено от тези, които знаят (без да са забравили) или сами могат да изведат геометрическата формула
чрез която се намира лице на трапец. Останалите няма да са в състояние да я решат, тъй като не знаят ОБЩОТО, което трябва да приложат вЧАСТНИЯ СЛУЧАЙ. А то е съществената геометрическа зависимост, изразена във формулата, която не е написана на покрива. "Законите на движение на небесните тела - пише Хе-гел - не са начертани на небето."1 Казаното от великия мислител по принцип се отнася за всеки закон във всяка област на знанието. Пътят към тяхното установяване е стръмен и криволичещ и понякога изисква вековни усилия. Във всички случай обаче сме изправени пред необходимостта да излизаме вън от границите на непосредствено даденото и да подложим данните на непосредствения опит, от които обикновено се тръгва, на дълбока рационална обра-
Гегель, Энциклопедия философских наук, ч I, Логика, 1930, с. 49
215
ботка. Оръдията за тази обработка са логически оръдия, инструментариум, който логиката е изковала в своето развитие. Само на пръв поглед решаването на елементарната геометрическа задача става без участието на логиката. Каква е формулата, как се достига до нея и вярна ли е тя, е геометрическа проблема, но нейното прилагане към частни случаи е проява на съобразяване с логическия закон за достатъчното основание.
И така, допускането, че човек не е умозаключаващо същество, с неизбежност ни води до извода за отсъствие на научно знание за действителността. А тя, действителността, по думите на създателя на науката логика Аристотел, е неделимо единство от минало, настояще и бъдеще. Това по-конкретно значи, че няма да съществува научно знание за миналата действителност. За отдалечени назад във времето неща ние нямаме никакъв опит по простата причина,
* че не сме били тогава. Ярки впечатления за по-близкото минало, на което сме били свидетели, неизбежно избледняват с времето. Твърде често те така преиначават действителната картина на наблюдаваното минало, че изобщо не може да се разчита на тяхната достоверност. Но дори и живият спомен за отминали исторически реалности в главите на по-паметливите, не може да претендира за някакво обяснение на наблюдаваното в миналото, например на осъзнаване на причини, които са породили наблюдаваните явления.
Непосредственият ни опит за отминалото минало може да послужи за описание, а то е само предверие за истинската наука. Научната "реконструкция" на миналото може да бъде осъществена по пътя на умозаключенията.
Вече се опитахме да видим, че знанието за настоящата действителност има за изходна точка данните на непосредствения опит, но то придобива качеството научност поради преодоляване на ограничените му рамки.
А бъдещето, т.е,. "тази още несъществуваща действителност"? Непосредствен опит за него е невъзможен. И въпреки това то се прави с усилията на днешните хора. Насоченият към него човек би приличал на слепец, ако с просто опипване се опита да открие чертите му. Това не е възможно, тъй като е вътрешно противоречиво
- "бъдещето", за което имаме непосредствен опит, вече е престанало да бъде действително бъдеще, а се е превърнала в настояще. Интелектуалният взор е единственото, което заменя липсата на "сетиво" за бъдещето. А интелектът до голяма степен е само друго название на човешката логичност. "Знанието е сила", но интелектът не е простата съвкупност от знания, нито е пропорционален на нарастване на обхвата им. Той е преди всичко способност за установяване на такива връзки между знания, които ни позволяват "да
надникнем" в онова, което още не е актуална действителност. Поради това интелектът често се приравнява към човешката способност за умозаключаване. Тя е гръбнакът на множество адресирани към бъдещето човешки прояви: изграждане на образи за мислено, но още неосъществено бъдещо състояние на нещата, т.е. човешки цели, планиране на човешки действия, естествено свързани с тях човешки надежди, търсене на подходящи средства за осъществяване на замисленото. Естествено е такива мисловни прояви, които предшествуват човешката практическа дейност, в която се реализират човешките цели, да са присъщи на всички хора. Сигурно са прави авторите, които виждат в трагическата обреченост на първобитната старица и нейната примиреност пред неизбежната смърт мисълта за това, което още не е: тя знае, че ще бъде изядена от мечката, но очаква синът й да я убие и нахрани децата...
Но едва ли степента на ангажираност с бъдещето е еднаква у различните хора. Трудно е да очакваме младежки ентусиазъм у възрастния пред лицето на бъдещето Изглежда това е имал предвид Аристотел като казва, че старите живеят със спомена, тъй като много време има зад тях, а малко им остава, докато младите според него живеят с надеждата, тъй като малко време има зад тях, а много им предстои. Тази съвсем естествена насоченост към бъдещето, свързана с младежки надежди, цели и желание за осъществяването им изглежда е имал предвид и Хегел като казва: "Поради това тази логика се представя обикновено за изучаване на младежта, която още не е навлязла в интересите на конкретния живот и живее в свободно от тях време и посочва училището като мястото за изучаване на логическата наука, след завършване на което трябва да последва сериозността на живота и дейността за постигането на истинските цели."1 Сигурно Хегел е имал предвид пълната свобода от грижите на ежедневието, което според него е дало възможност на древните да превърнат "заниманието с чистите мисли" в "нужда на вече удовлетворената нужда от необходимото, нуждата породена от нямането на нужда."2 Младият е далеч от блаженото състояние на отсъствие на практически нужди, за да остане чистият стремеж към знание като негова единствена грижа. Но все пак една от важните грижи, която не заслужава да бъде оставена настрана е грижата за бъдещето. А нима известното всекиму "който се учи, той ще сполучи" не е също адресирано към него?
Изводът който се налага, е: отхвърлянето необходимата връзка
Хегел, Наукат а логика, ч I, С, 1966, с 21 Пак там, с 22
216
217
между "човек" и "умозаключаващо същество" е равносилна на отказ от научни знания за всякаква (минала, настояща и бъдеща) действителност. Този извод е в противоречие с общоизвестния факт, че хората притежават знания за тези видове действителност. В противен случай би останала необяснима способността им да се ориентират в света, в който са.
Но като следствие на вече достигнати следствия хората не само не биха познавали, но не биха могли да внасят каквито и да е целесъобразни измерения в действителността чрез практическата си дейност. Нейна основна съставка е човешкият труд, онова отношение между хората и природата, в процеса на което се изменят формите на природните предмети. В самото определение на труда като целесъобразна дейност е предпоставено, че в тъканта е вплетена човешката логичност. Без умозаключаване изобщо не е възможно формирането на онова мислено състояние на нещата, което наричаме цели (нали те се извеждат от някакви човешки потребности); не е възможна селекцията на възможните цели (защото това изисква съобразяване с конкретните обстоятелства); накрая, не може да намери обяснение изборът на определени средства и определена последователност на действията (тъй като то предполага знания за качествата на средствата с оглед на преследваната цел и на липсата на произвол в реда на действията).
Излиза, че самата трудова дейност се разкрива като необходимо свързана с цяла плетеница от умозаключения. В такъв случай се налага да признаем, че интелектуалните качества, които имат за своя сърцевина способността за умозаключаване, са присъщи не само на тези, които с право или без право се наричат интелектуалци, но и на хората, които създават хляба. Необходимостта от това е заложена в самата насоченост на всяка трудова дейност към бъдещето. Както ученикът учи, за да сполучи, така и земеделецът сее, за да жъне.
Необходимото присъствие на логически моменти в най-основната човешка дейност, създаваща материални блага, не значи превръщането й в духовна дейност, а само това, че тя не е безмозъчна дейност. Всеки знае, че по пътя към очаквания резултат на труда се пролива пот и се изразходват човешки мускули. ,
В самото начало условно допуснахме противното на онова, което е изразено в заглавието, т.е. приехме за истинно твърдението, което му противоречи. То е изразено в твърдението (3). Сега се убеждаваме, че приемането на (3) с необходимост ни води до приемане на (4) - не съществува научно знание за действителността.
Трябва да имаме предвид, че условно приетата неистинност на (2) следва истинност на отрицанието му в (3), а от него пък следва
истинността на (4). Както виждаме, в тази поредица няма място за произвол: приемането на нещо задължително е свързано с приемането на друго нещо.
Ние тръгнахме от несъмненото положение (1) (съществуването на хора) и за съвременния човек е много трудно, ако не и невъзможно да си представи или мисли съвместното съществуване на съвременно човечество и явлението отсъствие на наука. Но не бива да изключваме възможността някои да не се впечатляват от надвисналото противоречие и да се опитат да го отклонят. "Какво пък толкова нередно има в това - биха казали те - едното да се мисли при отсъствие на другото?" Те могат да се позоват например на несъмненото положение, че което важи за съвременното човечество с неговата развита цивилизация, не важи за всички фази на историческото развитие на човешкия род и да посочи като пример първобитното време, в което има хора, а наука не е създадена. Едва ли някой ще твърди, че първобитният човек е познавал действителните причини за земетресенията или на слънчевите затъмнения. Много по-правдоподобно е да считаме, че е изпитвал суеверен страх пред тях. Но от това съвсем не следва, че примитивът е бил в състояние на пълно незнание, колкото и далеч да са истините, до които той се е домогвал от съвременните критерии за научност. Науката като систематизирано знание я няма, но човешки знания са налице. Човек е мислил много преди Аристотел да превърне самото мислене в предмет на изследване, да създаде науката за него, която наричат мислене за мисленето. Първобитните знания се коренят най-нап-ред в непосредствения му опит, в който природните неща и техните свойства и отношения съществуват в неделимо единство. Поради своето обективно съдържание, този опит, взет в своята цялост, му е разкривал света приблизително такъв, какъвто е. В противен случай е невъзможна дори елементарната ориентация в него. Тласкан от жизнени потребности, човек е трябвало да установява връзки между съдържания на опита, които по своята природа са представлявали излизане от неговите собствени рамки, например между сегашни и утрешни състояния на нещата; на прости, а след това по-сложни причинни зависимости, да се движи от първоначално смътното, но вече по-проясняващо се осъзнаване, че нещо става поради това, че нещо друго е станало... Това вече представлява крачки напред по пътя на човешката абстракция. Изглежда отначало някои жизнено значими свойства на нещата са били превръщани в обект на специално внимание. А това предполага "отделянето им" от останалите, от сложната съвокупност на свойства, която представлява всяко нещо.
От наблюдения на цивилизовани хора върху живота на прими-
218
219
тивни племена, съществуващи все още в наше време, може да се съди по аналогия за мисленето на първобитните хора. Едно от първите неща, които са били констатирани от контакт със съвременните примитиви е все още ниската, неразвита степен на абстракция. Броенето например се извършвало не на ум, а при условие преброяваното множество да е пред очите на преброяващия. За осъществяването му се използват пръстите на ръцете: пет означава една ръка, десет - две ръце. Като се вземат предвид и пръстите на краката, двадесет вече означава един човек. Само природно надарени първобитни аритметици са отивали по-далеч: двадесет и едно означава един пръст на друг човек... Изглежда съвсем първобитен е произходът на означения, които и ние използваме - V е човешката ръка със свити средни пръсти, VI, VII и т.н. иде от последователното прибавяне на пръсти на другата ръка, Х представлява поставяне на втората ръка под първата. Всичко това е много първобитно, но е вече мислене, осъзнаване на общо и изразяването му с някакви знаци. То е в неразделна връзка с развитието на членоразделната реч, на езика, който "ИЗРАЗЯВА САМО ОБЩОТО"1 и поради това е средство за ОБЩУВАНЕ между хората, а обменянето на мисли пък е предпоставка за тяхната ОБЩА дейност.
Има автори, които макар да признават наличие на действително мислене у първобитния човек, търсят извора му в неговата душевност, в индивидуалните или колективните му представи. Според тях когато човек е сам и мисли и действува независимо от другите, е по-близо до логичността, отколкото, когато е в плен на мистични "колективни" представи. Тогава мисленето му нямало логически черти и той проявявал някаква "нечувствителност към противоречието", например смесвал несъвместими неща. Такова мислене се определя от тях като дологично или предлогично. Подобни съчетания са противоречиви. Мисленето, което е лишено от логика не е изобщо мислене. Освен това е трудно оспоримо твърдението, че човек е оцелял не в резултат на самосъзерцаване и не толкова чрез индивидуалната си, а в резултата на общата си дейност с другите в човешката общност. Неговото съществуване сигурно не е приличало на това на птичката божия, която "не знает ни заботы, ни труда". Съвместната борба за съществуване го е изтръгнала от останалия животински свят, направила го е човек, осигурила е оцеляването му. Събирането на пшенични зърна в мравуняка, което мравката прави инстинктивно, човек извършва съзнателно.
Сега вече сме подготвени да направим едно по-сложно умозак-лючение, формата на което ни е известна.
Тръгваме от старата, но вечно напомняща ни за себе си истина, че:
1. Без материални блага няма задоволяване на човешките потребности;
Присъединяваме към нея истината:
2. Единственият път ш създаване на лштериални блага е трудовата човешка дейност;
Сега пък ще прибавим и положението, което обосновахме:
3. Трудовата дейност има за необходима предпоставка способността за умозаключаване.
Вече не са нужни сложни разсъждения, за да се убедим, че отричането на твърдението за съществената връзка на човека и способността за умозаключаване ще ни доведе до отричане на трудовата дейност; то на свой ред ще пререже пътя към създаване на материални блага; тяхното отсъствие пък ще доведе до това, че материалните потребности на хората няма да се задоволяват. Но в такъв случай биха ли съществували, т.е. няма ли да стигнем до противоречие с положението (1) съществуват хора, от което тръгнахме в началото? "Достигането до противоречие е достигане до абсурд", е учел Платон в древността. "Невъзможното е това, което заключава в себе си противоречие", е повтарял векове след него Лайбниц.1 Единственият изход от него е отказ от условно приетото в началото твърдение, което отрича изразеното в заглавието.
Но тогава остава да приемем истинността на твърдението (2). В една поредица от мисли, които са свързани така, че няма никакво място за произвол, ние обосновахме необходимата връзка "човекът = същество, което умозаключава".
Същественото: общ ход на доказване чрез допускане на противното: условно приемане неистинността на обоснованата теза; проследяване на логичните следствия на допуснатото; достигане до логически абсурд, до противоречие; отхвърляне на условно допуснатото.
1 Гегель, Энциклопедия философских наук, часть первая, Логика, М., Л., 1930,
с 45
Лейбниц, Г В, Цит. съч , т. III. М , 1984, с. 126
220
221
